| 研究概要 |
(n+1)次元Auslander-Reiten理論として、n-クラスター傾斜部分圏(=極大(n-1)一直交部分圏)を持つ圏を調べた。
三角圏のn-クラスター傾斜部分圏全体への、mutationと呼ばれる操作を与え、その性質を調べた(吉野雄二氏との共同研究)。特に部分剰余三角圏の構成を与え、それぞれのn-クラスター傾斜部分圏が自然に対応する事を示した。応用として幾つかのVeronese部分環上のrigid Cohen-Macaulay加群を決定した。
(2-)クラスター傾斜部分圏をもつ2-Calabi-Yau的完全圏のクラスを新たに2つ見つけた。
1つ目(Buan, Reiten, Scottとの共同研究)はFomin-Zelevinskyのクラスター多元環に触発されたものであり、non-DynkinグラフΔのpreprojective多元環Λから生じる。Λは2-Calabi-Yau多元環であり、ΔのCoxeter群の元wに対してΛの傾斜イデアルI_wが構成されるが、圏CM(Λ/I_w)が2-Calabi-Yau的となり、wの最短表示に応じてクラスター傾斜対象が構成される事を示した。
2つ目(Burban, Keller, Reitenとの共同研究)は1次元超曲面孤立特異点R=k[[x, y]]/(f)から生じる。f=f_1...f_n(ord(f_i)=1)と分解される場合に、CM(R)はクラスター傾斜対象を持つ事を示し、全てのクラスター傾斜対象とrigid対象を記述した。更にfに対するこの条件は、クラスター傾斜対象の存在の必要十分条件である事を、クレパント解消の存在に関するKatzの判定法と、非可換クレパント解消に関するVan den Berghの結果、および昨年度の研究を総合する事により得た。
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