| 研究概要 |
グレブナー基底の理論を活用して,有限群の不変式に纏わるイデアルや,対称性の高い生成系を持つイデアルなどを解析し,不変式環の構造の解明や,符号理論などの情報科学への応用を目的として研究を行った。当初の具体的な目標は
1.ヒルベルトイデアルのグレブナー基底
2.不変式環の生成系
3.符号理論への応用
の3点であった。
本年度の研究では,特に3に注目した。Salaは巡回符号の最小距離計算に,対称性の高い元を生成系として持つイデアルのグレブナー基底を活用する手法を発明した。さらにその計算を高速化するため,対称群のヒルベルトイデアルのグレブナー基底を活用している。研究では,Salaの方程式に付随するイデアルについて,様々な単項式順序についてグレブナー基底を計算した。その結果,Salaの論文に記載されているグレブナー基底と比較してかなり簡明なグレブナー基底を得た。来年度はこれを踏まえて一般的な結果を得ることを目指す。また,青木-竹村は,分割表の解析に関連するトーリックイデアルについて研究する際,対応する配置,生成形に高い対称性があることに着目している。研究では,豊かな対称性を持っ配置として,Segre-Vbronese型配置について研究した。その結果,当該配置について飛躍的かつ自然な一般化を得た。すわなち,もともとは,「変数をブロックに分け,ブロックごとにVbronese型」という定義であったが,特にブロック間に重複があっても良いことが判明した。これによって適用範囲が格段に広がっただけでなく,記述も非常に簡明になった。
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