| 研究概要 |
有限次代数体のZ_p-拡大体上の最大不分岐p-拡大のガロワ群の構造の解明は本研究における主要研究目標の1つである。特に、これまでの研究を通じて「有限次代数体Kの円分的Z_p-拡大体上の最大不分岐p-拡大のガロワ群Gは非可換な自由pro-p群にはならないであろう」という予想に到達しており、この予想の検証は現時点での非常に重要な問題である。今年度の研究においてはp=2,Kが虚2次体の場合に研究を行い、Kが非常に特別な条件を満たす場合を除いて、Gは非可換な自由pro-2群にならないことを証明することに成功した。特にGが非可換な自由pro-2群になるにあるのであれば、それはGの階数が2の場合に限られることも分かった。上に述べた「非常に特別な条件」はKに対応する2-進L-函数の零点たちがQ-上線型従属という条件を含んでおり、この零点に関する条件を満たすような虚2次体はかなり多くの数値実験を行っても発見されていない。P-進L-函数の零点たち(自明な零点を除く)は常にQ-上線型独立である可能性も考えられる。本研究を通じて、p-進L-函数の零点たちの性質がアーベル拡大のみならず非アーベル拡大のガロワ群の構造とも密接な関係があることが垣間見られたので、来年度以降の研究では、この関係の解明も視野に入れて研究を行う予定である。
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