| 研究概要 |
代数体上の最大不分岐p-拡大(pは素数)のガロワ群の構造の解明は本研究における主要な研究骨標の1つである. 本年度はこの目的のため, 有限次代数体のイデアル類群上に新たpairingを定義してその諸性質を研究した. この新しいpairingは, 代数曲線のJacobi多様体の等分点の群上で定義されているWeil pairingの類似物であり, 極めて自然な対象であると考えられる. Weil pairingは交代, 非退化で1の羃根の群に値をとるが, この新しいpairingは, 対称であり, 非退化とは限らない上に, その値はある単数群のGalois cohomology群にとる. このように, この新しいparingは一見扱い難いのであるが, 本研究によって実はこのparingは考えている代数体の最大不分岐メタアーベル拡大のガロワ群の群論的な構造によって完全に決定されること判明したため, 逆にこのpairingからそのガロワ群の構造に関しても情報が得られることが分かった. 詳しく言うと, このpairingはイデアルの単項化と, Artin写像を用いて定義されているのであるが, それが最大不分岐メタアーベル拡大のガロワ群から群論的に定まるcohomology群のcup積で表せることを示したのでである. 実際, イデアル類群の2-partが(2, 2)型のアーベル群の場合に, pairingの様子から, 最大不分岐メタアーベル2-拡大のガロワ群がどのような構造を持つかをある程度判別できることも本研究によって判明した. このparingは岩澤理論的な状況, Z_p-拡大体上でも定義されるので, その研究が非アーベル岩澤理論において非常に重要な役割を果たすと考えられる. 従って, 今年度の本研究で得られた成果は今後の研究に繋がり発展するものと期待できる.
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