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リー群とは群の構造をもった多様体であるが、トーラスなど特殊なものを除いて、ほとんどが非可換である。非可換とは、交換子写像が自明になること、と言い換えることができる。これを交換子写像が定値写像にホモトープであるという条件に変えたものが、ホモトピー的可換性であり、交換子写像を入れ子にしたn重交換子写像がホモトピー的に非自明になるのはnがどれくらいまでか、を調べることがホモトピー的巾零性を調べるということになる。さらにホモトピー論には空間の局所化という手法があり、これを用いることで、群の局所化のように、空間の性質を素数p毎に切り分け、局所化して調べることが可能になる。どのような素数で局所化したときに、どのようなホモトピー的巾零性が現れるかは興味深い問題である。
ホモトピー的な巾零性を調べる際には、交換子写像を用いて定義されるSamelson積と呼ばれるホモトピー群の間の積が重要となる。従来、古典的なユニタリ群であっても、非安定なホモトピー群のSamelson積はあまり系統だって計算されてこなかった。その理由としては、準安定なホモトピー群の群構造の決定は多くなされてきたが、その計算の中で安定ホモトピーの手法が使われており、具体的な生成元がはっきりしなかりた点が挙げられる。今年度は、ホモトピー巾零性を考察する際に重要となる、素数pで局所化したユニタリ群のSamelson積について、具体的な生成元を確認しながら系統立ててを計算し、その結果をまとめ、発表した。その結果は現在論文としてまとめている途中である。
また、その他、Sp(2)や例外型リー群についてもSamelson積の計算を行い、そのホモトピー的巾零性等について調べた。この結果についても、現在論文を投稿中である。
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