| 研究概要 |
F_u=α+βe^F, E_y=γ+δe^<-F>という型の優決定系が解を持つための必要十分条件は容易に求められる. 優決定系が整合条件(compatibility condition)を満たす場合, 与えられた初期値に対して解が一意に存在するが, その場合に冒頭の条件を具体的に記述した. これを用いて, 特にLiouvilleの方程式の一般解を求める新しい方法を得た(Backlund変換を用いて求める方法が既に知られている). また系が整合条件を満たさないとき, 解が存在するならば解の個数は高々2であるが, ちょうど二つの解が存在するための必要十分条件を求めた. またβ=0の場合に系が解を持つならば解は一意であるが, 解が存在するための条件を求めた.
上述の結果を用いて, 次の二つの結果を得た.
1. 曲率が実数L_0とは常に異なる準曲面が, 断面曲率がL_0である3次元空間型の曲面として局所的にはめこまれるための必要十分条件を得た, 但しここでいうはめこみは等長でありかつ準曲面の二つの一次元分布を主分布とするものである.
2. 以下, L_0=0とする. 準曲面に対応する優決定系が整合条件を満たす場合, E^3へのはめこみは局所的に存在しそして像はmolding surfaceであるが, 整合条件を満たさない場合に像が互いに合同ではない二つのはめこみが局所的に存在するための必要十分条件を得た. この条件にsinh-Gordon方程式が現れ, この条件が成り立つ場合に曲面がisothermicであることと零ではない一定平均曲率を持つことは同値である.
なお, 優決定系が整合条件を満たさないとき, 3次元空間型の極小曲面, 3次元空間型の定曲率曲面で主曲率が零ではないもの, E^3の曲面でGauss曲率が零ではなくかつ曲率線の族の一つが測地線からなるものに対応する優決定系の解は一意である.
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