| 研究概要 |
1.二橋結び目,および二橋絡み目について,それを表す図式として、シューベルト図と呼ばれるものがある。符号数やアレクサンダー多項式といった位相的不変量をシューベルト図から読み取ることができることを示した。特に絡み目については,二変数アレクサンダー多項式までも記述する公式を開発した。符号数やアレクサンダー多項式は結び目,絡み目を境界とする曲面(ザイフェルト曲面)から定義,および計算される量であるが,それを絡み目を表す図式から得られるグラフの上に可視化した。符号数はザイフェルト曲面をアニュラスのプラミングで表した時の、捻りの符号の総和となる。シューベルト図の上では曲面は非常に複雑なものとなるが、捻りの総和はシューベルト図から自然に構成されるグラフの端点の高度差によって与えられることを示した。二橋結び目の符号数やアレクサンダー多項式は、より高度な不変量であるフレアーホモロジーを決定するなど、その重要な量である。
2.結び目の捻りアレクサンダー多項式は、古典的アレクサンダー多項式の拡張になっているが、結び目のファイバー性を反映するなど、ザイフェルト曲面の性質もよく引き継いでいる。しかし古典的アレクサンダー多項式の性質がどの程度反映するのかはよく分かっていない。特に二橋結び目に注目し、トロント大学の村杉氏との共同研究を行った。結果として、捻りアレクサンダー多項式の1、および-1における値の振舞いを記述した。
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