| 研究概要 |
工学や医学の応用科学の分野において, 非破壊検査や断層撮影法などの数理モデル化によって現れる逆問題では, 現在においても様々なアプローチで解析がなされている. 本研究においては, それらの数理モデルとして確率微分方程式を取り上げ, その数学解析と実験のノイズによる影響を統計的に捉えるために情報理論の適用を行い, 数値精度を数学的に保証することで応用科学の分野での汎用性, 安全性を高めていくことを目的としている、具体的な逆問題では実験環境下のために入力データや計測データ等にノイズが混入することは不可避である. これに対して今回は確率微分方程式を対象とすることで, ノイズ影響下での逆問題に対する数学解析の枠組みを構築することを取り上げた. 確率微分方程式で記述される入出力システムにおいては, 解に相当する出力データの観測から入力信号を推定するという逆問題の定式化を行い, パラメータ推定の理論を無限次元Hilbert空間の枠組みに拡張することにより最尤推定法が適用可能であることが成果として得られた. ここでは, Fisher情報量と呼ばれるものが確率微分方程式の逆問題の解の推定能力(観測回数が推定精度を向上させること)に本質的に関係することが示されている. このような逆問題研究の中で具体的な背景として, 大脳内における単一の神経細胞の活動が挙げられる. この神経細胞の膜電位は, 生体内では非常にランダムな活動を行うことが知られており, 従来より確率微分方程式の数理モデルを用いて表現されている. この数理モデルで記述される入出力システムにおいて解に相当する出力データ(膜電位の変化)の観測から入力信号(シナプスからの外部入力)を推定する問題を数値計算を利用して成果を得た. 数学的には確率微分方程式の係数やソース項を求める逆問題に対して, 数値計算手法を提案し実際にその値を計算機で求めた.
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