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1. 今年度中に学術雑誌に掲載された内容。
一次元ランダムウォークの正の半直線への初到達時刻についての遥動理論(Sparre Andersenの定理)に関連して、二次元確率過程への種々の拡張を行った。これらの拡張された定理がふくむ情報は、ランダムウォークの第一成分の最大値や、最大値に初めて到達した時刻、最後に到達した時刻、さらには、それらの時点でのランダムウォークの第二成分の値などである。
これを利用して、二次元ランダムウオークが半無限直線へ初めて到達する時刻・場所をふくむ詳細情報に関する確率分布の裾野の漸近評価を得た。
平面内の半無限直線へのランダムウオークの到達は、DLAクラスタのうち、針状に突き出た部分への付着を理想化したものに相当する。
2. 投稿中の内容。
上記の研究を拡張し、連続時間の類似した性質を持つ確率過程、すなわち二次元ブラウン運動でも、半直線への初到達時刻・場所をふくむ情報に関連する漸近評価を得た。ランダムウォークの定理では半直線の反対側での滞在回数を扱っていたが、ブラウン運動では半直線の反対側での局所時間を扱っている。
手法はランダムウォークの場合とは全く異なるものであり、レヴィ過程に対する二次元揺動理論・3変数ラプス変換に対するレゾルベント方程式・Frullani積分を組合わせて利用した。
さらに、ランダムウオークの結果に出現した、公式集にも載っていない興味深い定積分が、ブラウン運動の場合でも出現したが、その出現に到る過程はまったく異なっていた。
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