| 研究概要 |
結晶が成長していく際、結晶の表面に一定の波形・速度で進む進行波や回転するスパイラル波がしばしば観察される。これは、結晶の表面には転位とよばれる段差が幾つもあり、溶液中の結晶分子はこの段差部分で結晶と結合し、段差が前進あるいは渦巻きながら結晶が成長していくためである。こうした結晶成長を記述する反応拡散方程式モデル、あるいは段差(転位)の時間発展を記述する界面方程式の解の定性的性質を調べることにより,進行波やスパイラル波発生のメカニズムおよび界面(転位)ダイナミクスを明らかにし,結晶の成長現象を数学的に説明することが本研究の目的である。
今年度は、空間1次元反応拡散方程式モデルの解の挙動について調べ、結晶表面の転位同士は互いに引き合うか、反発し合うかなど、転位の相互作用に関する研究を行った。まず、2箇所に段差がある階段状の波形をした初期値から出発した解の漸近挙動を調べ、方程式の優解と劣解を構成し比較定理を用いた手法を用いて、ある適当な対称性に関する仮定の下では、転位は互いに離れていく(反発し合う)ことを示した。とくに、時間無限大で2つの転位間の距離も無限大となるが、離れていく速度は時間とともに遅くなっていき、転位間の距離は時間の対数オーダーあるいはそれ以下のオーダーの関数で表すことができることを示した。さらに、結晶表面に段差が3段ある場合についても調べ、この場合にも同様に転位は互いに反発し合うことを証明することができた。
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