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従来の研究で、笠原(研究代表者)は定常確率過程の有限予測問題に対する新しい解析手法を開発し、それを時系列解析、確率解析、金融工学等の様々な問題に応用してきたが、その一連の研究の中で、時間依存構造を反映する幾つかの重要な量(例えば、偏相関係数)が美しい表現を持つことを発見した。その表現の背後にある仕組み、特に完全非決定性との関係を理解することは、本研究の主要な目的の一つである。今年度は、一般的な議論を展開し易い離散時間の場合について従来の手法を整理した。その結果、これまで課してきた技術的仮定は解消され、完全非決定性の下で簡明な議論が展開できるようになった。これは、言い換えると、rigidな関数で決まる単位円上の測度に対する直交多項式をHardy空間論の言葉で扱う手法であり、従来の研究で得られた(偏相関係数等の)表現は、rigidな関数のphaseのFourier係数を用いて一般化された。一方、直交多項式自身の明示的表現はL^2理論では完全に捕らえきれないことが判明した。現時点での成果として、Seghierの予測問題の離散時間版に相当するものを解決しているのだが、この問題を完全に克服するにはrigidな関数の構造を更に詳しく分析する必要がある。
一方、時系列データに欠損のある場合の予測問題についても研究した。先行研究で知られている定常時系列の予測問題における双対性を一般の時系列の予測問題における双対性に拡張した。これを定常時系列に適用すると、過去のデータの中に欠損がある場合の予測問題を、いわゆる、補完の問題と同様に扱うことができる。この場合、定常時系列それ自身のdualではなく、定常時系列の過去の部分に対するdualを用いる。
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