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従来の研究で、笠原(研究代表者)は定常確率過程の有限予測問題に対する新しい解析手法を開発し、それを時系列解析、確率解析、金融工学等の様々な問題に応用してきたが、その一連の研究の中で、時間依存構造を反映する幾つかの重要な量(例えば、偏相関係数=Verblunsky係数)が美しい表現を持つことを発見した。その表現の背後にある仕組み、特に完全非決定性との関連を理解することは、本研究の主要な目的の一つである。昨年度の研究では、従来の研究結果を一般化することにより、種々の表現定理に対するある程度透明な理解が得られた。特に、完全非決定の下では、Verblunsky係数がphase係数(いわゆるphase関数のFourier係数)の言葉で表現できることが分かった。今年度は、Verblunsky係数とphase係数の関係に着目して、Baxterの定理、Ibragimovの定理について調べた。これらは、直交多項式の理論において中心的な位置にある大変美しい結果であるのだが、phase係数の立場から見てもその美しさが損なわれることはなく、非常に興味深い結果が得られた。これによりphase係数の重要性がより明確になった。結果の証明では、昨年度の研究で得られた直交多項式の分解定理が重要な役割を果たすが、今のところ、これを使うには完全非決定性より強い条件が必要である。これを一般化することが今後の課題になる。
一方、連続時間の有限予測問題における予測係数に対するBaxter型の不等式についても研究した。具体的には、分数Brown運動を一般化した定常増分過程を考え、有限予測係数と無限予測係数の差の正則変動関数による重み付き平均の漸近挙動を明らかにした。連続時間の確率過程を扱うこのような結果は、従来の研究には見当たらない。
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