| 研究概要 |
本研究は,非線形波動現象を記述する微分方程式について,非線形性がどのように相互作用して特異性がどのように伝播するか,その数学的特性の解析を偏微分方程式論の立場から理解することを目的としている.関連する最近の研究として,解の分散性と非線形相互作用の釣合い及びその臨界的な状況の下で,解の存在定理などを評価し,解の数学的性質を調べることが挙げられる.そのような研究も踏まえ,本年度は空間次元2次元の分散性波動を記述するKP-1方程式と非線形シュレディンガー方程式について,初期値問題の適切性の問題を対象とし研究を実施した.
KP-1方程式については,フーリエ空間における非線形項の共鳴・非共鳴状態の考察から非線形相互作用の構造を解析し,方程式のエネルギー空間における適切性を研究した.最終的な定理としての結果は得ることができなかったが,この問題の適切性を論じる上で必要となる関数空間の設定等の研究を進める方向を示し,引き続き研究を行うこととした.
非線形シュレディンガー方程式については,非線形項における波数間相互作用の特異性が時間大域的にどのように時間発展するか研究した.空間次元が2次元以上の場合は,1次元の場合と異なる,ある種の非線形共鳴状態が因果し,ある初期値に対しては解のエネルギーが低周波帯から高周波帯に輸送される状況を評価・構成した.更にその評価式から,エネルギー空間よりも広い関数空間において,ノルム爆発解の存在に類似する結果を証明した.この成果は論文として現在取りまとめている.
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