| 研究概要 |
半線形波動方程式の初期値問題は様々な研究がされているが、その中で初期値の設定により解の挙動が異なる場合があることが知られている。対応する系に関する既存研究では各成分の初期値関数を全て同等なものとして扱っていること多いが、上述の単独方程式での初期値の影響力を考慮すると、更に詳細な解析が必要であると考えられる。そこで本研究では、系の各成分に性質が異なる初期値関数を与えて解析し、系の相互作用と初期値が解に与える影響を調べることを目的としている。考える問題は、2つの未知関数u, vについてのstrongly coupled systemと呼ばれる系で、伝播速度は等しいとする。特に、それぞれ非線形項のトータルのべきが等しい場合を考える。この設定下でu, vの初期値を同等なものとすると、非線形性のバランスに関わらず、解の存在・非存在の条件は単独方程式と同じとなる。ところが、本研究により、初期値の性質を異なるように設定すると、その初期値と非線形性のバランスにより、単独方程式とは異なる系特有の状況が起こることがわかってきた。以下は本年度行った研究の具体的内容である。
1. 初期値関数はいずれも多項式減衰し、その減衰オーダーが異なる場合を解析した。昨年度までの研究では、ある特定の非線形性について上記の性質が最適な形で得られていた。本年度は、非線形性に対する条件をはずすことに成功し、この結果を改良することができた。
2. 初期値関数の一方はコンパクト台、もう一方は台が非コンパクトである場合を解析した。この初期値が解の挙動へ及ぼす系特有の影響がある場合があることを爆発の立場から確認した。
これらの結果は、研究集会やセミナーで発表した。現在論文にまとめて投稿準備中である。
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