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今年度は当初の計画に沿って、可積分量子系のスペクトル硬度・準位数分散・2準位相関関数などを、準位成分の数を無限大にとる極限として導出し、得られた極限分布関数の性質を評価することで、量子系のエネルギー準位に生じる揺らぎの性質を明らかにする理論を構築した。
ベリーとロブニックが考案した準位統計の半古典理論を、パンディによって構築されたエネルギー準位の重ね合わせ理論に適用し、さらにリュービル・アーノルドの定理を考慮にいれ、可積分量子系の無限個の相空間構造を想定したある仮定のものでスペクトル硬度・準位数分散などの理論公式を準位成分の数を無限大にとる極限として導くことに成功した。得られた理論公式の性質をパラメータ関数を用いて評価し、可積分量子系の長距離準位相関にみられる揺らぎの性質をいくつかのクラスに分類した。またエネルギー準位列がポアソン統計を示す条件、外れる条件を示すことができた。
われわれの構築した理論は、量子系の長距離準位相関に従来から知られている統計則(ポアソン統計)とは異なる新しい統計則が生じる可能性を示唆するもので、ポアソン統計から外れる条件として、系に内在する対称性を起源にエネルギー準位に強い集積が起こる必要があるという結論を与えている。
量子化された矩形ビリアード系を用いたコンピュータシミュレーションによって、ポアソン統計に一致する事例や外れる事例を集め、構築した理論との整合性を明らかにすることができた。
次年度は、いよいよ、長距離スペクトル相関と短距離スペクトル相関の関係を明らかにするつもりである。
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