| 研究概要 |
無限型リーマン面に対する無限次元タイヒミュラー空間上に作用するタイヒミュラーモジュラー群を考察するために,漸近的タイヒミュラー空間上の作用を見る.これは,漸近的等角写像を用いて定義されたタイヒミュラー空間の商空間であり,リーマン面が無限型の時は,常に無限次元になる.リーマン面上の擬等角写像類は漸近的タイヒミュラー空間上にも双正則等距離変換として作用しているが,自明に作用することもあり得る.すでに漸近的等角写像と極値的長さの関係を調べ,非自明に作用するための十分条件を与えている.今年度の研究では,リーマン面が有界幾何条件を持つ場合,漸近的タイヒミュラー空間上に自明に作用する写像類からなる群を完全に特徴付けた.この結果より,タイヒミュラー空間上の極限集合と漸近的タイヒミュラー空間上の極限集合の関係を考察することができる.特に,リーマン面が有界幾何条件を持つならば,漸近的タイヒミュラーモジュラー群の不連続点は存在する.また,タイヒミュラー空間上の極限集合は漸近的タイヒミュラー空間上の極限集合に射影される.
さらにタイヒミュラー空間と漸近的タイヒミュラー空間の中間に位置する新しいタイヒミュラー空間を導入した.これは,タイヒミュラー空間とモジュライ空間の中間にあるとみなすこともできる.上で述べた結果を用いると,有界幾何条件を満たすリーマン面に対しては,この新しいタイヒミュラー空間に複素構造を導入することができ,さらに双正則自己同相写像群を決定することができた.
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