| 研究実績の概要 |
1926年に導入された指標和Kloosterman和は，群G=SL(2,Z)のBruhat分解と関係するKloosterman集合上に定義されることが報告されている．ここで，Bruhat分解は，群Gと関係するワイル群Wとボレル部分群Bを用いてG=BWBと表される分解である．D.Bump, S.Friedberg, D.Goldfeld(1988)は，Kloosterman和の高次元への拡張として，SL(3,Z)に対するKloosterman集合上にKloosterman和を定義した．また，Kloosterman集合をさらに細かく分解し，細分化した集合上にKloosterman和を定義することで，Kloosterman和の分解が可能であることを報告した．この結果を利用してV.Blomer, J.Buttcane, P.Maga等を中心に，SL(3,Z)におけるKloosterman和の研究が進展した．
本研究では，D.Bump, S.Friedberg, D.Goldfeld(1988)の結果について分析し，Kloosterman集合を先行研究の分解とは異なる分解をすることにより，より深い性質について考察することを目的とした．具体的には，G=SL(2,Z)において，Kloosterman集合の分解を，シューベルトカルキュラス理論で用いられるBott-Samelson分解を元に考察した．実際，直接Bott-Samelson分解を使用することはできないことが明らかになったが，ワイル群の最長元に対するBruhat分解について，Bott-Samelson分解に修正を加えることにより，Koosterman集合に新たな分解を与えることができた．
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| 今後の研究の推進方策 |
まず，本年度の結果をSL(3,Z)に拡張する．計算段階の確認には，計算数式処理ソフトSageを用いて確認を行う．次に，Kloosterman集合の分解の成果をもとに，分解したより小さい集合上にKloosterman和を定義し，それによって得られるKloosterman和の性質について研究を進める．また，SL(3,Z)のKloosterman集合の細分化に対するD.Bump, S.Friedberg, D.Goldfeldによる先行研究との比較を行う．さらに，Metaplectic群への拡張について考察する．
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