| 研究課題/領域番号 |
18H01112
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
安田 健彦 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30507166)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 弦モチーフ / 特異点 / 有理点 / 代数的スタック |
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| 研究実績の概要 |
前年度までに大体の道筋が着いていたCarvajal-Rojas氏との共同研究について、議論の詳細を詰め、論文にまとめarXivで公開した。これは、正標数のKLT特異点の局所エタール基本群に関する研究である。モチーフ積分と弦モチーフを応用して、2次元の正標数KLT特異点に対し、局所エタール基本群の有限性を示した。また3次元においても、部分的な結果を得た。同様の結果が、標数零や次元に比べ標数が大きい場合には知られていたが、低い標数では野性的な分岐が出現するため、解析が困難であった。これを、準エタール・ガロア被覆による弦モチーフの減少と、減少列の停止（降鎖律）を示すという手法を導入することで、今回の研究成果を導くことが可能となった。その後、混標数の場合についても考察し、2次元において同様の結果を得ることができた。
一方で、Darda氏とDMスタック上の有理点の分布に関する共同研究を開始した。代数多様体の有理点の分布に関して、有名なBatyrev-Manin予想がある。この予想をDMスタックに一般化することで、数体の分布に関するMalle予想を含めることができると期待されている。そのような試みがいくつか開始されているが、そのような予想で精密な形にまとめられたものは、まだ存在しない。Darda氏との共同研究の目標は、そのような定式化を見つけ、いくつかの場合で予想が成立することを確認することである。研究はおおむね順調に進展し、そのような予想の候補を見つけることができた。また、可換有限群スキームに付随する分類スタックに対して、その予想が成立することを確認した。この研究は、本研究課題でこれまでに得られた知見が大いに活用されている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
コロナ禍で、他大学、特に海外の研究者との交流が著しく制限されていることが、研究の新しい方向性を模索する点において、マイナスの影響を与えていることは否めない。しかし、現況において可能な研究活動に注力することで、一定の成果を挙げることができている。Carvajal-Rojas氏やDarda氏との共同研究はそれぞれ順調に進み、新しい結果を得ることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
Carvajal-Rojas氏との共同研究においては、局所エタール基本群の有限性を、3次元のKLT特異点に対しても得ることを目指す。2次元で用いた手法の一部に、3次元では適用できないものがあるので、その代替となる手法を開発する必要がある。Darda氏との共同研究では、これまでに得られた成果について、議論の詳細を詰めて論文にまとめ発表することを目指す。
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