| 研究課題/領域番号 |
18H01115
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
吉永 正彦 北海道大学, 理学研究院, 教授 (90467647)
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| 研究分担者 |
阿部 拓郎 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (50435971)
島田 伊知朗 広島大学, 理学研究科, 教授 (10235616)
徳永 浩雄 首都大学東京, 理学研究科, 教授 (30211395)
長谷部 高広 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (00633166)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 超平面配置 / 離散構造 / 滑層空間 |
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| 研究実績の概要 |
本計画では(a)コクセター配置や関連する配置の自由性, (b)超平面配置や部分空間配置の位相幾何的性質の研究、(c)マトロイドやTutte多項式の一般化, をテーマに設定している。2018年度はそれぞれについて, 順調に研究を進めた。
(a)に関しては、阿部拓郎氏、Gerhard Rohrle, Christian Stump氏等と複素鏡映配置の対数的ベクトル場のなす加群の構造に関する研究を完成させ、論文としてまとめ投稿した。また、これとは別に、コクセター配置の対数的ベクトル場と、量子Calogero-Moser系の第一積分の空間の関係に関する論文を準備中である（阿部拓郎, 榎本直也, 陶山大輔, Misha Feigin氏らとの共同研究）。
(b)に関しては、問題意識を北海道大学の大学院生の小山元希氏と共有した結果、小山氏と石川剛郎氏による研究の進展があり、ユークリッド空間内の直線配置の補集合のホモトピー型や微分同相類が組み合わせ論的に決定されることが分かった。それとは別に、20・12面体と呼ばれる多面体に付随した超平面配置（20・12面体配置）のミルナーファイバーのホモロジーがねじれを持ち、Betti数に関してもこれまで広く信じられていた予想を覆すふるまいをすることが分かった。
(c)に関しては、大学院生のTan Nhat Tran 氏との共同研究を進め、特性準多項式の成分と呼ばれる多項式の組み合わせ論的な意味を明らかにした論文を出版した。
6月には京都大学数理解析研究所で研究集会を、3月には広島大学での研究集会の組織に関わり、国内外の関連するテーマの研究者と議論を行った。ドイツ、フランス、ベトナムで行われた研究者や大学院生向けのスクールで連続講演を行い、他何件かの研究発表を内外の研究集会で行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
(a), (b), (c)三つのテーマ全般で研究の進展、論文の準備、口頭発表、研究集会の運営など順調に行った。そのうえで、20・12面体配置という非常に興味深い超平面配置の例が見つかった。この例は、20年来の問題を決着し、ここ数年信じられていたミルナーファイバーの1次のコホモロジーの構造に関する予想に改定を迫る性質を有していることが分かった。これはミルナーファイバーの分析に関して、当初の計画を超えて先に進めるための重要なステップであると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
おおむね計画通り順調に進んでいる部分は着実に進める。具体的には、(a)に関しては、阿部拓郎氏との議論を中心に研究を進める予定である。また北海道大学のMichele Torielli, Elisa Palezzato, Tan Nhat Tran氏らと、Plus-One generated arrangementと呼ばれる、自由配置の次に重要と位置付けられている配置の研究を開始しており、これも進める予定である。(b)に関しては、大学院生の小山氏と、部分空間配置の極小性に関する議論を進める。この方面では、Adiprasito による「c-arrangement の極小性」が一番一般的で強い結果とされており、この拡張を目指す。ミルナーファイバーの研究に関しては、昨年度得られた20・12面体配置の詳細な研究を進めたい。具体的には、Z_2ベッチ数の決定などを理論的に行いたい（計算機を使うことで、結果自体は Enrique Artal-Bartolo 氏によって得られている）。(c)については、大学院生のTan Nhat Tran氏との共同研究を進めているが、グラフの Chip-firing game, Species, 有限モデル理論、Euler数、など関連するテーマで、我々が導入したG-Tutte多項式が使えるかどうかを探るのが一つのテーマである。7月には、Hokkaido Summer Institute "Recent advances in matroids and Tutte polynomials"および workshop を開催し、国内外の関連する研究者による研究発表と最新の成果の情報共有により、今後多くの研究者によって研究を進めるための基盤を構築したい。
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