| 研究実績の概要 |
今年度は，日本学術振興会外国人特別研究員のAnderson Arley Vera Arboleda氏との共同研究の成果を，プレプリント“Double Johnson filtrations for mapping class groups”(arXiv:2009.07484) としてまとめた（雑誌投稿中）．以下ではこの論文の成果について述べる．
この論文ではまず，群の拡張N列の概念を大幅に一般化して，「良い」順序可換モノイドΛで添え字づけられたフィルトレーションに拡張し，Johnson準同型の理論を一般化した．次に，特にΛが2個の自然数の組の全体N^2の場合を考察した．N^2で添え字づけられた群のフィルトレーションは2重フィルトレーションと呼ぶことができる．
この2重フィルトレーションの一般論を曲面の写像類群に適用した．まず，Kが種数gの境界付き曲面Σの基本群であり，この曲面の写像類群Mを考える．3次元球面の種数gの標準的なHeegaard分解に付随して，基本群Kの２つの正規部分群X,Yを取ることができる．Kには，これらの正規部分群をそれぞれ(1,0),(0,1)の位置に持つような自然な２重フィルトレーションK_**が入る．写像類群Mの元は２重フィルトレーションK_**を保つとは限らないが，いわゆるGoeritz部分群(ハンドル分解の写像類群)GがK_**を保つ部分となる．２重フィルトレーションの一般論より，Goeritz群Gに２重フィルトレーションG_**が誘導されて，Johnson 準同型も定義される．Goeritz群の２重フィルトレーションは，写像類群Mの２重フィルトレーションM_**に拡張することができるが，この場合の添え字は－1以上の整数の組(i,j)によるものである．これを写像類群Mの２重Johnsonフィルトレーションと呼ぶ．
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