| 研究課題/領域番号 |
18H01121
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| 研究機関 | 関西大学 |
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研究代表者 |
竹田 雅好 関西大学, システム理工学部, 教授 (30179650)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | ディリクレ形式 / 対称マルコフ過程 / シュレディンガー形式 / ハーディの不等式 / 臨界性 |
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| 研究実績の概要 |
昨年度までの研究で、対称マルコフ過程に対して、既約性、強フェラー性、緊密性なる三つの性質をもつクラス(以下, クラス(T)と呼ぶ)を導入し、その性質を調べてきた。特に、クラス（T）に属するマルコフ過程が生成する半群はL^2-コンパクト作用素となり, 全ての固有関数が有界連続修正をもつことを示した。さらに保存性を仮定すると、非常に強いエルゴード性、すなわち任意のコンパクト集合に対してその補集合からの脱出時刻が指数可積分性をもつことを示した。
今年度は、正定値シュレディンガー形式に対する臨界性・劣臨界性の特徴付けを行い、それを臨界的ハーディ型不等式の証明に応用した。まず、拡張ディリクレ空間の概念の一般化である拡張シュレディンガー空間の性質を学習し、正定値シュレディンガー形式に対する臨界性・劣臨界性の定義が、拡張ディリクレ空間の言葉で特徴づけられることを示した。これは、ディリクレ形式の再帰性・過渡性が拡張ディリクレ空間の言葉で特徴づけられることに対応している。また、 ディリクレ形式の再帰性とシュレディンガー形式の臨界性はドゥーブのh-変換をとおして互いに結びつく。さらに, シュレディンガー形式の臨界性は臨界的なハーディ型不等式を導く。 この二つの事実を結びつけることで、再帰的なディリクレ形式のh-変換によって臨界的なハーディ型不等式を導くことが可能になる。さらに、臨界的ハーディ・ウエイトが無限遠点近傍で臨界的なハーディ・ウエイトであるための十分条件を与え、それが零臨界的なウエイトになることを示し、最適なハーディ型不等式を導く方法を与えた。従来良く知られているハーディ型不等式がこの方法を用いて導けることを確認した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
昨年までの研究で、正定値シュレディンガー形式に対しては、臨界性・劣臨界性の判定を時間変更過程のスペクトル下限が1に等しいか大きいかで与えた。また、マルコフ作用素にポテンシャルを加えてできるシュレディンガー型作用素のグリーン関数に対して、それを核にもつポテンシャルを考える。そのポテンシャルに対して、最大値原理、連続性原理、エネルギー原理などマルコフ核がもつポテンシャルの基本的原理が保たれるための条件も時間変更過程のスペクトル下限が1に等しいか大きいかで与えることができた。また、正定値シュレディンガー形式の比較することにより、一方の臨界性から他方の臨界性が導かれるというリュービル型定理を示した。その証明にも正定値シュレディンガー形式の臨界性・劣臨界性の判定が時間変更過程のスペクトル下限で与えられることが重要な役割を果たした。いずれの場合も、代表者が以前から考察している対称マルコフ過程のクラス（T)の導入が鍵となっており、このクラス設定が上手く機能しているといえる。
正定値シュレディンガー形式の臨界性・劣臨界性の概念は、マルコフ過程における再帰性・過渡性の拡張概念である。このことに着目して、拡張シュレーディンガー空間の言葉で臨界性・劣臨界性を特徴づけることができた。再帰的ディリクレ形式からh－変換をとおして臨界的シュレーディンガー形式を構成することで、臨界的ハーディ・ウエイトの構成を容易にした。実際、ディリクレ形式の再帰性を示すことは、 シュレディンガー形式の臨界性を示すことよりも簡単である。なぜなら、シュレディンガー形式の臨界性は 基底を見つけなければならないが、ディリクレ形式の再帰性は恒等的に１である関数が拡張ディリクレ空間の属し、そのディリクレ・ノルムが零であることを確認すればよい。
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| 今後の研究の推進方策 |
保存的でない対称マルコフ過程に対して準定常分布の存在と一意性を示し、さらに内在的超縮小性を満たせばヤグロム極限にもなっていることが示せたが、興味深い適応例を見つけることが課題となる。特に、ジャンプを許す多次元の対称マルコフ過程に対しては、この一般論を適応できる具体例が少ない。具体的な生物モデルに対して, 生存時間の減衰速度と準定常分布への収束速度を計算し比較検討することで、準定常分布の役割を明確にし、引き続き研究課題をする。
臨界性・劣臨界性の概念はマルコフ過程における再帰性・過渡性の拡張概念であることに着目して、拡張シュレーディンガー空間の言葉で臨界性・劣臨界性を特徴づけることができた。再帰的ディリクレ形式からh－変換をとおして臨界的シュレーディンガー形式を構成することで、臨界的ハーディ・ウエイトの構成を容易にした。正定値シュレディンガー形式はファイマン・カッツ変換で構成される。ファイマン・カッツ変換をさらに一般の乗法汎関数による変換に代えることで構成される正定値対称形式に対しても結果の拡張を考える。そのことにより、非局所形式の場合を含む場合の最適なハーディ不等式を示すことを目指す。そのためには、非局所ディリクレ形式の再帰性について結果を調べ、整備することが必要になる。特に、飛躍を含む対称形式に関する臨界性については研究は極めて少ない。臨界性を持つ非局所対称形式の例を作ることから始める。
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