| 研究課題/領域番号 |
18H01127
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
時弘 哲治 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (10163966)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 離散準可積分系 / 線形化可能系 / Hietarinta-Viallet 方程式 / 離散方程式 / セルオートマトン / 交通流 |
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| 研究実績の概要 |
これまで，離散KdV方程式の準可積分拡張として得られた拡張離散KdV方程式がHietarinta-Viallet方程式の2次元拡張であることを，その簡約化がHietarinta-Viallet方程式とその一般化された系を含む事によって示し，さらにクラスター代数との関係について議論し，特異点閉じ込め性の代数的定式化であるco-primeness性が成り立つことを確認した．この方程式をさらに一般化して任意の次元において同じ性質をもつ，準可積分離散方程式系を構成し，co-primeness条件などが成立することを証明した．また，その超離散極限について，特に円分体に付随する方程式系の拡張を行うことで，co-primeness条件や特異点閉じ込めとの関係を議論した．
離散準可積分系の応用として，ルール184セルオートマトンをFuzzy化して得られる交通流モデル(FCA184およびその一般化)について，基本図の構成を行った．FCA184に対しては，基本図（密度-流量図）は3つの領域（自由走行、渋滞、２周期状態）からなることを示した．２周期状態は，実際の系で観察される混合状態(synchronized mode)に対応すると考えられるが，基本図内の2次元の領域であり，自由走行および渋滞領域はその1次元的な境界であった．特に，低密度および高密度の極限を調べるために超離散化の手法を用い，一般的な初期条件下では，どの超離散化状態も有限の時間ステップで速度1の進行波状態に収束することを示してきた．そのうえで，このFCA184の一般化ではslow-to-start性を取り入れて，自由走行相から渋滞相へ移る密度に関して，解析的にその値を求めた．また，slow-to-start CAの密度1/3以下での自由走行相の安定性を厳密に証明した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の目的であるco-primeness条件が離散準可積分系の特性として意味を持つことを，典型的な離散可積分系およびその範疇に入らないHietarinta-Viallet方程式において確認し，さらにHIetarita-Viallet方程式を任意次元に拡張することに成功した．また，特異点閉じ込めの性質を持たない線形化可能系についても，その高次元化や一般化について成功した．また，これらの系とクラスター代数の関係，特にLaurent性が成り立つことなどの特性を明らかにし，証明を示した，したがって，離散準可積分系を探索し，その特徴を明らかにすることは十分にできていると考える．
一方で，離散準可積分系の分類に関しては，単純な例と考えられる円分多項式に付随する系に関しても，超離散化を使う方法などの技法はある程度整備したが，明確な結論が得られておらず，今後の重要な課題になっている．
一つの応用として，バーガーズ方程式やルール184CAと言った可積分な系で記述する音によって，解析的な良い結果を得てきた交通流のモデルを考察した．特にFuzzy化することによって離散準可積分系とみなせる系を構成し，そのslow-startモデルへの拡張を行うことができた．このモデルは，４元連立の非線形離散方程式として記述され，特に渋滞相と自由相の境界密度に関して解析的な結果を得ることができた．この結果は，自由走行相と渋滞相の間に準安定な混合相が存在することを示しており，実際の観測事実に一致している，また，その超離散極限と考えられるslow-to-start CA において，密度が1/3以下ので安定性について厳密な証明を与えることもできた．
以上から，本研究課題はおおむね順調に進展していると考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後もっとも重要な課題は，離散準可積分系の分類である．そのためには，(1) co-primeness条件を持つ系の分類を低次の系から順次調べてゆくこと，(2)超離散系において co-primeness条件を調べる，の2点を進める必要がある．(1) については，円分体に付随する系を考えたが，あまりうまくゆかなかったため，離散パンルベ方程式の拡張についてひとつづつ調べてゆくことを計画している．(2)については，Hietarinta-Viallet方程式系の超離散化から初めて任意次元の拡張を行う必要がある．符号付超離散化，あるいは多成分化による超離散化などの手法が役立つと思われる．また，より発展的な問題として，この準可積分系の代数幾何学的特徴づけの問題がある．Hietarinta-Viallet方程式の拡張型が，どのような空間の双有理写像として捉えられるかも考察したい．
応用面では，交通流の問題へのさらなる応用として，長距離の相互作用を取り入れた特異積分を含む系を考察する．ヒルベルト変換を一般化したcoth型の長距離相関を入れた系では，厳密解が求められることが知られている．この系を離散化し，その厳密解を求め，交通流モデルとしての有効性を検証するとともに，co-primeness条件を満たす形で拡張することによって，特異積分を含む離散準可積分系の例を構成する．また，それらの超離散極限が与えるセルオートマトン，あるいは，フィルターオートマトンを構成し，解や保存量，また，クラスター代数との関連などの代数的構造についても調べたい．
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