| 研究実績の概要 |
本年度は、非線形シュレディンガー方程式系の初期値問題に関する研究を行った. いわゆる零条件よりも弱い条件(以下, "弱"零条件)の下での小さな初期値に対する大域解の存在が1次元および2次元空間で知られているが, この大域解の漸近挙動について調べた.この"弱"零条件よりも1次元空間の場合には若干強い制約がつくような(2次元空間のときは同一の)"弱"零条件の下では大域解の漸近挙動が, 非線形シュレディンガー方程式系より決まる簡約化方程式系の解を用いて記述できることを示した. また, 解が漸近自由, すなわち漸近的に自由解と同様のふるまいをするとき,漸近先の自由解が満たすべき条件を導いた. いくつかの具体的な非線形シュレディンガー方程式系に対して, 上記の結果を応用して漸近挙動を考察し, 例えば Colin-Colin により提唱された非線形シュレディンガー方程式系の大域解は, 一般には漸近自由とならないことを示した. 以上の結果は迫田大輔氏(大阪大学)との共同研究であり, 学術誌への掲載が決定している.
他には3次元空間における波動方程式とクライン・ゴルドン方程式の非線形連立系の初期値問題を考察した. この連立系に対する大域解の存在定理はいくつかあるが, いずれの場合も波動方程式の非線形項の波動のみからなる項には零条件が仮定されていた. 本年度はこの零条件を"弱"零条件に代えて大域解の存在を示すという問題に取り組んだ(大阪大学の程 明港氏との共同研究). 半線形波動方程式の"弱"零条件はいくつか知られているが, 片山-的場-砂川による条件へと弱めることを考えた. 残念ながら当初の想定とは異なる(おそらくは)技術的な付加条件がついてしまったが, 既知の結果では扱えないような連立系に対する大域解の存在定理を得ることができた(投稿準備中).
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