| 研究実績の概要 |
今年度は成分ごとに伝播速度が異なる半線形波動方程式系の初期値問題を2次元空間において考察した. この場合, 小さな初期値に対する大域解存在の臨界次数は3であり, 3次の非線形項をもつ場合には非線形項の構造に応じて大域解の存在・非存在が決まる. また伝播速度が異なる場合には, 単一速度しか持たない場合と比べて, 証明に使用できるベクトル場が制限されるという困難が発生する. 異なる伝播速度をもち3次の非線形項をもつ場合の小さな初期値に対する大域解存在の十分条件としては, Hoshiga-Kubo による零条件が知られている. 今回, 程 明港氏(大阪大学)との共同研究において, 零条件よりも弱い条件下で小さな初期値に対する大域解の存在を証明することに成功した. この条件は, 単一速度の場合に知られていた``弱''零条件の1種を多重伝播速度の場合に拡張したものになっている. また, 上記の条件の下での大域解の漸近挙動についても考察し, 半線形波動方程式系と関連した簡約化方程式系の解を用いて半線形波動方程式系の大域解の漸近挙動が記述できることを証明した. ただし残念ながら漸近挙動を得るためには若干の付加制約が必要であった,この結果により, 異なる伝播速度をもつ成分からの影響は小さく, 基本的には同一の伝播速度をもつ成分のみで漸近挙動が決定されることが明らかになった.これにより単一速度の場合により精密な漸近挙動を調べることができれば多重速度の場合にも応用できることが分かった.
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