研究課題
昨年度に引き続き小さな初期値をもつ半線形消散波動方程式に対する初期値問題を、消散項が時間減衰をもつ場合に詳細に解析した。昨年度は、消散項の係数が時間変数の１次より速く減衰する場合には、エルギークラスの解は消散項がない波動方程式のそれと同様に振る舞う、つまり消散効果が全くないことをほぼ完全に明らかにした。今年度は、ちょうど臨界減衰である１次のscale-invariantと言われる状態のときに何が起こっているかを，解の最大存在時間評価，つまり，lifespan 評価から明らかにすることを行った。なお、１次より遅い減衰の場合には，消散項が時間２階偏導関数の部分を凌駕し、解は対応する半線形熱方程式のそれのように振る舞うことが良く知られていることに注意する．基本的に大きく分けて三つの研究を行った。一つ目は主たる研究成果で、低次元低べきの非線形項をもつ波動および消散波動方程式に対する初期値問題の解析である。小さい初期値に対してどのくらい長く解が存在するか、という解のlifespan 評価を初期値の条件を分類して精密に導出した。二つ目は、質量項付き消散波動方程式に対する初期値問題の解析である。消散項の時間減衰を波動方程式に近い状態になるように固定した上、質量項の時間減衰を様々な状況に設定して解析し、lifespan の上からの評価を初期値の条件で分類して精密に導出した。三つ目は、消散波動方程式系に対する初期値問題の解析である。これは，昨年度に得られた消散項の時間減衰が強い単独方程式の結果を２×２の系に拡張して、分類条件をlifespan の上からの評価から提示したものである。
1: 当初の計画以上に進展している
ここでは前述の研究実績の概要で述べた主たる研究成果に的を絞って述べる。scale-invariatな消散項の係数が特別な値であるとき，それがLiouville 変換によって臨界である2次の時間減衰をもつ質量項に変換されることを用いて，空間１次元では藤田指数が支配する熱的な状態であっても初期速度の全空間での積分量がゼロか非ゼロによって解の最大存在時間の長短が分類されることを示した。これは、臨界減衰をもつ消散項付き半線形波動方程式のエネルギー解に対して、これまでに消散項の係数が大きければ熱方程式のそれに近く藤田臨界指数が支配的で、逆に小さければ波動方程式のそれに近くStrauss型臨界指数が支配的になっているという予想と一部の結果があったが、解のlifespan評価から見るとそうではない、つまり、いかなる場合も消散項なしの解に近い性質をもつことを示唆する非常に興味深い結果となっている。これは長年、非線形消散波動方程式を分類している研究者達が、時間大域存在か非存在かを分ける臨界冪の指数が半線形熱方程式のそれである藤田指数かそうでないか、というだけで熱方程式に近いか波動方程式に近いかを分類していたことが不十分だったことを証明したことになる。この結果の影響は大きく、類似の方程式を扱っている周辺分野の研究に大きく方向転換を迫るものである。現に、この研究成果が出版される前後、多数の引用論文がプレプリントサバーであるarXivに登場し、現在もその傾向は止まらない。以上の状況を鑑みて、当該分野にインパクトの大きい結果を導出することができたと判断し、この区分を選択した。
引き続き今年度得られた結果を、もっと一般の係数を持つ方程式や多次元でこのような状況が唯一発生すると思われる空間２次元に対して拡張することを試みる。また、結果の重要性から、半線形消散波動方程式以外の類似の方程式に対する解析も急ぎ行う。これらは研究分担者はもちろんのこと、マンパワーの不足を補うため、海外を含めた研究協力者達に依頼して共同研究の形で行う予定である。特に、宇宙論に現れる特異係数を持つ双曲型方程式への応用は、物理にも影響を与えるので解析が急がれる。
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すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (12件) (うち国際共著 5件、 査読あり 12件) 学会発表 (13件) (うち国際学会 5件、 招待講演 12件)
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