| 研究課題/領域番号 |
18H01134
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| 研究機関 | 関西学院大学 |
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研究代表者 |
大杉 英史 関西学院大学, 理工学部, 教授 (80350289)
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| 研究分担者 |
東谷 章弘 京都産業大学, 理学部, 准教授 (60723385)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | グレブナー基底 / 凸多面体 / エルハート多項式 |
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| 研究実績の概要 |
整凸多面体に含まれる格子点の数え上げや三角形分割は離散幾何学に止まらず様々な分野に現れる基本的かつ重要な研究対象である。当該研究の目的は，近年発明された離散幾何における革新的な新手法とグレブナー基底理論の融合・相互作用により，グレブナー基底理論に基づく新手法の開発を進めることである。
今年度の研究では，日比孝之氏，土谷昭善氏との共同研究により，順序凸多面体と安定集合凸多面体のケーリー和とその正規性およびGorenstein性について研究成果を得た。主たる結果として，任意の半順序集合PとグラフGに対して以下の3条件が同値であることを証明することができた（１）Gは理想グラフである（２）Pの順序凸多面体とGの安定集合凸多面体のミンコフスキー和はGorensteinである（３）Pの順序凸多面体とGの安定集合凸多面体のケーリー和はGorensteinである。この定理の証明においては，グレブナー基底理論が大きな役割を果たしている。なお，当該研究成果については，Michigan Math. J.に掲載が決定している。また，土谷昭善氏との共同研究により，整凸多面体のh*多項式のγ-positive性について研究を行った。特に，二部グラフに付随するある反射的凸多面体のh*多項式のγ多項式が超グラフの内部多項式によって記述でき，γ-positiveであることを示すことができた。さらに，この整凸多面体のh*多項式は虚根を持つ場合があり，貴重な例を生み出すことも判明した。また，enriched順序凸多面体・enriched鎖凸多面体を定義し，それらが反射的凸多面体であることを示すとともに，h*多項式のγ多項式を半順序集合の言葉で記述することによって，γ-positiveであることを証明した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
整凸多面体のケーリー和とその正規性，Gorenstein性，あるいは，整凸多面体のh*多項式のγ-positive性について興味深い結果が得られており，その際に駆使した新手法も今後の発展が見込まれる。
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| 今後の研究の推進方策 |
正規多面体，反射的凸多面体などの重要な性質を持つ整凸多面体について，既存の著名なクラスの解析や，新しい豊富なクラスの発見に努める。これらの研究成果をもとに，理論的な考察に加えて，計算機支援によって豊富なクラスによる実証を遂行し，離散幾何における最新の理論をグレブナー基底を始めとする可換代数的手法と融合し，関連する理論の発展を目指す。
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