| 研究課題/領域番号 |
18H01134
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| 研究機関 | 関西学院大学 |
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研究代表者 |
大杉 英史 関西学院大学, 理工学部, 教授 (80350289)
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| 研究分担者 |
東谷 章弘 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (60723385)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | グレブナー基底 / 凸多面体 / エルハート多項式 |
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| 研究実績の概要 |
凸多面体に含まれる格子点の数え上げや三角形分割は離散幾何学に止まらず様々な分野に現れる基本的かつ重要な研究対象である。当該研究の目的は，近年発明された離散幾何における革新的な新手法とグレブナー基底理論の融合・相互作用により，グレブナー基底理論に基づく新手法の開発を進めることである。
今年度の主な研究成果としては，以下の2つがあげられる。
１．東谷氏との共同研究により，単位単体のミンコフスキ和のトーリックイデアルについて研究し，スクエアフリーなイニシャルイデアルを持ち，2次生成であることを証明した。また，単位単体のミンコフスキ和がinteger decomposition propertyを持つことを証明した。これらの結果により，著名な予想である小田予想とBogvad予想がnestohedronと呼ばれるクラスについて正しいことが証明された。なお当該研究成果についてはAlgebraic Combinatoricsに掲載が決定している。
２．土谷氏との共同研究により，グレブナー基底理論を駆使して，単模配置から nef 分割の豊富な例を構成することに成功した。なお当該研究成果についてはMathematische Nachrichtenに掲載が決定している。
また，研究遂行に向けての情報収集を目的とし，計算可換代数と凸多面体研究についての現状把握を行うため，欧米諸国の研究者を招待して，国際会議「Commutative Algebra and Lattice Polytopes」（代表者：東谷章弘）を京都大学数理解析研究所において開催した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績欄で述べたように，東谷氏との共同研究の成果による応用の１つとして「nestohedronが小田予想の条件をみたすことの証明」が挙げられるが，これは当初の研究計画における主要な目標の１つであり，早くも目標が達成された。計画段階では「入れ子配置」の応用に注目していたが，その拡張である渋田氏の理論を応用したことが成功の要因である。今後はこの手法をさらに一般化することも視野に入れる。
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| 今後の研究の推進方策 |
正規多面体，反射的凸多面体などの重要な性質を持つ整凸多面体について，既存の著名なクラスの解析や，新しい豊富なクラスの発見に努める。これらの研究成果をもとに，理論的な考察に加えて，計算機支援によって豊富なクラスによる実証を遂行し，離散幾何における最新の理論をグレブナー基底を始めとする可換代数的手法と融合し，関連する理論の発展を目指す。
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