| 研究課題/領域番号 |
18H01137
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
岡本 久 学習院大学, 理学部, 教授 (40143359)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 数理流体力学 / Navier-Stokes方程式 / 水面波 |
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| 研究実績の概要 |
解の爆発に関する新しい差分法を開発した。高次元空間において、数値解の安定性を保証し、なおかつ、爆発時刻での漸近挙動が再現される差分法を開発した。これによって爆発の後に正則性を回復するような解の数値シミュレーソンも可能になった。
2層の渦ありの流れの水面波を東海林まゆみ氏とともに数値計算した。よどみ点が出る場合でも数値計算できるようになった。得られた分岐図式はかなり複雑であるが、相当大きな振幅の波も計算できている。よどみ点が流れのどのあたりに発生するのかが少しずつわかってきた。
Kolmogorov流の高レイノルズ数における漸近挙動を考察した。Proudman-Johnson方程式にunimodal solutionがあることを精度保証計算で証明した。これは京都大学の宮地智行宇治との共同研究である。一方、韓国のChung-Ang大学のKim Sun-Chul教授との共同研究では、多くの円形渦をベッセル関数で説明する理論を開発した。理論と数値結果はよく一致しており、高レイノルズ数流れにおける準普遍的な性質として、面白い発見であると思っている。
また、ウィーン大学のヘルマン教授と共同で、Fornberg-Whitham方程式の解の研究を行った。同方程式の解をGodunovの差分法で数値計算し、多くの知見を得た。弱解の存在を証明し、特異点を持つ解の数値計算を行った。一方で、時間的に大域的な解の存在も示唆された。これらの結果はは2019年8月にDiscrte and Continuous Dynamical Systems A に出版される予定である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非線形熱方程式を高次元で考え、差分法による解の爆発方法を開発した。渦ありの流れの上の水面波を考え、自由表面の計算を行った。その中で多数の新しい系を得たが、同時に困難もいくつか発見した。overhangingのある場合には計算ができていないので、これをなんとかする方法を思案中である。Kolmogorov流では円形渦の解析を行った。渦の分布がベッセル関数で表現できることが判明しつつある。
論文を2編出版し、さらに3編準備中である。
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| 今後の研究の推進方策 |
Prandtl-Batchelor 理論をKolmogorov 流に応用して、円形渦を理論的に理解したい。楕円右図にも使える理論がほしいが、今のところわかっていない。また、overhangする渦ありの水面波を計算する方法を開発したい。水面波のモデル方程式であるFornberg-Whitham方程式には多くの未解決問題が横たわっていることがわかった。特に問題なのは進行波の安定性の問題である。本研究での数値計算によると、安定性は間違いないものと思える。問題は証明であるが、現状ではどうしてよいかわからない。また、周期境界条件ではなく、コーシー問題でも同様の問題を考えてみたい。
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