高次元におけるカオス発生メカニズムの解明とその応用

2022 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 18H01138
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 荒井 迅 東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (80362432)
• 研究分担者: 石井 豊 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20304727)
• 研究期間 (年度): 2018-04-01 – 2023-03-31
• キーワード: 力学系 / カオス / 分岐

研究実績の概要

本研究の目的は，高次元力学系にカオスが発生するメカニズムを解明し，カオス理論の応用範囲を飛躍的に拡大することである．カオスがどのような分岐を経て発生するのか，数学的に完全な理論が存在するのは1次元の最も基本的な場合のみであり，高次元でカオスが発生するメカニズム数学的な説明はいまだ得られていない．これがカオス理論の応用を進める上で大きな障害になっており，本研究はこの困難をトポロジーや計算機科学を応用して突破することを目指している．今年度は昨年度に引き続き，これまでの研究で得られた，1次元からの摂動論を用いることが出来ない本質的に新しい構造の連結なジュリア集合を持つパラメータを中心に，エノン写像のパラメータ空間の構造を解明するための研究を進めた．これは，ジュリア集合が非連結となるようなパラメータ集合を連結となるパラメータ集合がパラメータ空間のなかで位相的にどのように配位しているかを明らかにしようというもので，1次元を越えた高次元複素力学系を研究する上で基本的な問題である．この目標のためには，パラメータ空間の構造を効率的に探索する数値計算手法を開発し，さらに不動点の不安定多様体の精度保証付き数値計算や，グリーン関数を評価してその特異点の存在を数学的に厳密に証明するためのアルゴリズムなど，計算機援用証明の技法を開発する必要がある．今年度は，パラメータ空間内で高次元マンデルブロ集合の構造を抽出する曲線を自動的に構成するアルゴリズムの開発を主に進めた．これは，昨年度までに相空間上で行なった，グリーン関数の等高線や勾配流線を構成する方法をパラメータ空間に応用するものであるが，相空間の場合と異なり，多数のサドル臨界点を追跡する必要があるため，それに応じた最適化の手法を開発した．

現在までの達成度 (段落)

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

研究成果

• [雑誌論文] Symbolic dynamics for Henon maps near the boundary of the horseshoe locus (2024)
  • 著者名/発表者名: Yuki Hironaka, Yutaka Ishii
  • 雑誌名: Ergodic Theory and Dynamical Systems 巻: - ページ: -
  • 査読あり
• [雑誌論文] Henon maps: a list of open problems (2024)
  • 著者名/発表者名: Pierre Berger, Eric Bedford, Fabrizio Bianchi, Xavier Buff, Sylvain Crovisier, Tien-Cuong Dinh, Romain Dujardin, Charles Favre, Tanya Firsova, Patrick Ingram, Yutaka Ishii, Liviana Palmisano, Enrique Pujals, Jasmin Raissy, Sonja Stimac, Gabriel Vigny
  • 雑誌名: Arnold Mathematical Journal 巻: - ページ: -
  • 査読あり / 国際共著
• [学会発表] Pseudo-monodromy and the Mandelbrot set (2024)
  • 著者名/発表者名: Yutaka Ishii
  • 学会等名: Dynamical Systems Seminar, IMS at Stony Brook University
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Pseudo-monodromy and the Mandelbrot set (2024)
  • 著者名/発表者名: Yutaka Ishii
  • 学会等名: Dynamics seminar, Fields Institute at University of Toronto
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The Conley index and the topological dimension of hyperbolic Julia set (2023)
  • 著者名/発表者名: Zin Arai
  • 学会等名: Dynamical Systems Seminar, Academina Sinica
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Moduli of stability on the first bifurcation curve of the Henon map (2023)
  • 著者名/発表者名: Zin Arai
  • 学会等名: 2023 NCTS Workshop on Dynamical Systems
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] On the first bifurcation curve of the Henon map (2023)
  • 著者名/発表者名: 荒井迅
  • 学会等名: Dynamics Days Ookayama 2023
  • 招待講演
• [学会発表] An introduction to set-oriented computations for dynamics and their applications (2023)
  • 著者名/発表者名: Zin Arai
  • 学会等名: Hokkaido Summer Institute at Research Center of Mathematics for Social Creativity
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] On the connectedness and disconnectedness of the Julia set for the Henon map (2023)
  • 著者名/発表者名: Zin Arai
  • 学会等名: ICIAM2023
  • 国際学会
• [学会発表] On the parameter space of the Henon map (2023)
  • 著者名/発表者名: Zin Arai
  • 学会等名: KiPAS Dynamics Days
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] On the parameter space of the Henon map (2023)
  • 著者名/発表者名: Zin Arai
  • 学会等名: Atelier franco-japonais de dynamiques reelles et complexes
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Visualization in 4D spaces with virtual reality (2023)
  • 著者名/発表者名: Yutaka Ishii
  • 学会等名: Kavli IPMU Colloquium talk
  • 招待講演
• [学会発表] Is M disconnected? (2023)
  • 著者名/発表者名: Yutaka Ishii
  • 学会等名: Dynamics of Henon maps: real, complex and beyond
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Is M disconnected? (2023)
  • 著者名/発表者名: Yutaka Ishii
  • 学会等名: Around the Mandelbrot set: A conference celebrating the 60th birthday of Mitsuhiro Shishikura
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Is M disconnected? (2023)
  • 著者名/発表者名: Yutaka Ishii
  • 学会等名: Symposium on foliation theory
  • 招待講演