| 研究課題/領域番号 |
18H01543
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| 研究機関 | 名古屋工業大学 |
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研究代表者 |
北野 利一 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (00284307)
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| 研究分担者 |
渡部 哲史 東京大学, 大学院工学系研究科(工学部), 特任講師 (20633845)
志村 隆彰 統計数理研究所, 数理・推論研究系, 准教授 (40235677)
上野 玄太 統計数理研究所, モデリング研究系, 教授 (40370093)
田中 茂信 京都大学, 防災研究所, 教授 (70414985)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 依存関数 / 相関関数 / 合致率 / 再現期間 / 極値分布 / 気候変動 / 低頻度巨大災害 / ポアソン分布 |
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| 研究実績の概要 |
期間最大値の多変量化として拡張した成分最大値モデルで用いられる依存関数（Pickands, 1981）は，各成分で設定する閾値の少なくとも１つを超過する極値を全て対象とすることに対して，治水計画で必要となる豪雨の空間相関や沿岸部の高波と高潮の同時生起などで議論の対象となるのは，全ての閾値を超過する極値となる．これに対応する相関関数を定義し，閾値超過の極値の特性を検討した．２変量の場合には，依存関数と相関関数は，比較的に簡単な関係式で相互に書換えることができるが，３変量以上の場合には，包除原理のため，その関係は単純ではなく，簡単に書換えることができない．そのため，数学的な理論構築や応用上の目的に応じて，依存関数と相関関数の両方が不可欠となる．
多変量極値の応用では，現在，コピュラが多用される．しかしながら，コピュラを用いた多変量極値分布は，成分最大値を対象としたものであり，閾値超過の極値ではない．閾値超過の極値は，全ての閾値を超えない場合を取り除くことになるので，定義域が凹の領域となるために，コピュラで扱うのには，一般に適していない．そのため，閾値超過の極値に対しては，状況に応じた表現形式を用いて，相互に関係づけることが重要となる．
昨年度までの２年間は，多変量の閾値超過極値の分布関数（mGP）の母数のパラメトリック推定や，mGPは多様なパラメトリックモデルがあるため，それらに依存しないように，直接的に，依存関数のノンパラメトリック推定を検討したことに加えて，その推定結果から，相関関数が得られることも示した．なお，依存関数と相関関数をさらに発展させて，閾値そのものを直接与えずない指標として，合致率を提案した．２変量から３変量，そして，それ以上の多変量化する際には，全ての成分が対等で並列的な場合だけでなく，入れ子構造になっていることも踏まえることも留意した取り扱いが可能である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
多変量の閾値超過極値を治水計画の応用で扱うには，数理統計の理論で用いられる依存関数だけでなく，２変量のみならず，３変量さらに多変量に応用できる枠組みをが必要であり，そのためには，組合せ論的に包除原理の計算を必要となった都度行うのではなく，少なくとも１つの成分で閾値を超える生起率と直接結びつく依存関数に加えて，同時に全ての成分で閾値を超える生起率を直接求めることのできる相関関数を定義し，その性質について調べた．接合関数（コピュラ）を扱う確率・統計分野では，多変量の極値に対して，再現期間の見直し（Dismissing return period, Serinaldi, 2015）を提案される一方で，本研究では，これまでの単変量の再現期間をそのまま使うことに加えて，多変量の極値に活かす方法を検討する基盤を整備できた．また，擬似乱数を用いた多変量極値の生成についても検討を重ね，新たに，停止規則の条件式を設けることで，多変量極値に対して，成分最大値と閾値超過極値の数値実験をするための環境を構築した．
バイアス補正については，その考え方を整理して，d4PDF の多数アンサンブルデータベースの降雨量について，バイアス補正を行うとともに，アメダス観測点の地点データ化を利用できるように渡部が整備しており，この極値統計解析を行う準備も整った．
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| 今後の研究の推進方策 |
現在開発しいている多変量極値の相関関数をより発展させたものとして，合致率を提案している．この合致率は，同一期間の成分最大値が，同じ要因で生じるかどうかの割合を示す指標である．極値理論に従えば，年最大値の合致率が，治水計画の対象となる再現期間（例えば，１００年あるいは２００年）における合致率と等しいことが示される．接合関数（コピュラ）のフレームワークで極値理論を展開するグループでは，多変量極値に対する再現期間を新しい定義を，条件付きの場合分けにより複数提案している．このことは，治水計画を考える上で，思考を複雑にするだけで，有効なアプローチではないと考えている．
多変量の極値を考える場合も，単変量極値で用いる再現期間と同じ概念を用いて，相関関数や，さらに発展させて単純化した「合致率」を用いることが，既往の枠組みを土台に展開できる上で都合が良い仕組みとなると考える．このように都合の良い「合致率」であるが，データに対して直接にカウントできる場合には良いのであるが，高潮など毎年必ずしも起こるものではない場合にも，気候シミュレータから得られる情報をもとに推定することになる．この推定法については，パラメトリックな極値理論を用いる精密なものから，ノンパラメトリックな巧妙な方法，気候シミュレータからの情報をもとに経験的台風モデルを用いた多数のアンサンブル数を活かしたデータ解析的な方法まで多様である．これらの手法の長所・短所を分析して，応用に向いた手法を開発する．
また，極値時系列は非定常であり，短期的な検討では，直線を含む多項式によるトレンドも許されるであろうが，長期間の時系列を扱う場合には，より柔軟な表現モデルが必要となる．本研究ではカルマンフィルタに代表される状態空間モデルを基礎においた時系列モデルを構築する．
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