| 研究課題/領域番号 |
18H03667
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
都築 暢夫 東北大学, 理学研究科, 教授 (10253048)
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| 研究分担者 |
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
阿部 知行 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 准教授 (70609289)
中島 幸喜 東京電機大学, 工学部, 教授 (80287440)
山内 卓也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (90432707)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | F-アイソクリスタル / Newton多角形 / 代数曲線の族 / isotrivial / 楕円曲面 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では、F-アイソクリスタルのNewton多角形の変動とその代数幾何学的な応用において成果を得ることができた。正標数滑らかな射影的代数多様体上の代数曲線の族がisotrivialになる十分条件として、任意のF-アイソクリスタルのNewton多角形が多様体上一定となることを与えた。この証明には、Artinによる変形空間を与える関手の代数性や玉川-Saidiによる相対的Jacobi多様体の通常性などを用いる。この十分条件の応用として、小平次元0の滑らかかつ射影的な代数曲面上の代数曲線族がisotrivialであることが分かる。また、正標数代数閉体上の楕円曲面(小平次元1の場合)に、Newton多角形の変動を考察を開始して、底空間のF-isocrystalの引き戻しになるためには純非分離被覆の詳細な記述が必要になることが判明した。
2018年7月に東北大学にて「第17回仙台広島整数論集会」を開催した。若手整数論・数論幾何学研究者の登竜門的な研究集会で、活発な研究発表があり、非常に有意義であった。11月に東北大学にて数論幾何学におけるp進的な方法に関する国際シンポジウム「p-adic cohomology and arithmetic geometry 2018」を開催し、内外の若手研究者が活発な交流を行った。本シンポジウムで知己を得た若手講演者数名と研究代表者は現在も活発に研究交流を続けている。さらに、2019年4月にパドバ大学のBaldassarri教授を招へいし、東北大学にて国際研究集会「Mini-Conference on special functions, geometry and arithmetic」を開催し、氏とp進関数に関する意見交換ができ有意義であった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
これまでの研究代表者の研究で、アーベル多様体上のF-アイソクリスタルのNewton多角形は常に一定になることが知られていた。また、分担者の志甫氏の研究と合わせると小平次元0の代数曲面でも同様のことが成り立つことが知られていた。本研究では、これらの代数多様体上の代数曲線族が常にisotrivialになることの証明を、古典的なArtinの変形空間の関手の代数性に帰着させる詳細な証明を与えたという点で価値がある成果と言える。F-アイソクリスタルのNewton多角形が常に一定になる射影的滑らかな代数多様体の場合、F-アイソクリスタルは基本群の表現に対応するもののpべき倍捻りを組成列に持つ拡大になる。例えば、小平次元0の代数曲面はそのようになっている。小平次元１の代数曲面、正標数代数閉体上の楕円曲面上のF-アイソクリスタルの圏の研究においては、底代数曲線のF-アイソクリスタルの圏と代数曲面における圏の関係を調べることを目標としている。この問題を考察するためには、微分方程式の局所的な解の延長問題を通して、純非分離被覆における解の性質を調べることが必要と判明した。
2018年度及び繰越期間である2019年度に3件の研究集会を開催した。国際シンポジウム「p-adic cohomology and arithmetic geometry 2018」では、E.AmbrosiやJ.Krammer-Millerや大久保俊, 内外の将来を背負う研究者の優れた講演を聞くことが出来、参加者による充実した研究交流ができた。p進的手法における数論幾何学の分野において、若い世代を含めたネットワークが形成された。
Newton多角形に変動に関して問題の本質が理解が進んでいる。また、国際シンポジウムの開催は非常に得るものが多かった。一方、目標とした問題は最終的な解決に到達していないので、「(2) おおむね順調に進展している。」と評価する。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究課題では、Newton多角形の変動をキーワードとした正標数代数多様体上のF-アイソクリスタルの圏と代数多様体の幾何学的または数論的な性質の関係を明らかにすることである。これまでの研究で、標数0の代数曲線の双曲性の概念とNewton多角形が変動するF-アイソクリスタルの存在の不思議な類似性があることがわかっており、その本質的な理由を解明することを目指している。一般に、これまでの研究で得たれた結果の逆である、Newton多角形が変動するF-アイソクリスタルが存在する代数多様体にはisotrivialでない代数曲線族が存在することを予想している。2018年度から続けている楕円曲面の研究は、Newton多角形が変動するF-アイソクリスタルの存在に関する問題の部分的な解決を目指すものであり、2020年度の研究ではその進展を目指す。
2019年度の研究においては、2018年度及びその繰越研究と並行して、KedlayaによるF-アイソクリスタルの最小スロープ予想を代数曲線の場合に解決した。この予想はp進コホモロジー理論特有の現象を利用して証明する。代数多様体上の数論的な局所系の数論及びp進解析的な性質が反映されていて、M.D'AddezioやE.Ambrossiらの研究により、大域モノドロミー群に応用される。最小スロープ予想の数論幾何学的な意味がまだ十分には理解されていない。本研究では、その応用として高次元の同伴予想の未解決部分である一般次元におけるl進からp進の構成など、数論幾何学のp進的現象の研究を発展させる。
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