| 研究課題/領域番号 |
18H03667
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
都築 暢夫 東北大学, 理学研究科, 教授 (10253048)
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| 研究分担者 |
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
阿部 知行 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 准教授 (70609289)
中島 幸喜 東京電機大学, 工学部, 教授 (80287440)
山内 卓也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (90432707)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 過収束F-アイソクリスタル / スロープ / 最小スロープ予想 / リジッド・コホモロジー / p進線形微分方程式系 / mod 2ガロア表現 / 相互律 |
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| 研究実績の概要 |
2019年度以来の研究を続けていたK.S.Kedlayaが提起した正標数代数多様体の過収束F-アイソクリスタルに対する「最小スロープ予想」について、局所理論の大域化における議論を明確化させるために論文を一部修正した。代数曲線上の過収束F-アイソクリスタルのPBQ性の局所-大域間の適合性を利用するもので、p進線形微分方程式への応用が期待される性質である。
階数が偶数の代数体のmod 2-Galois表現と相互律に関する研究を行った。Cebotarevの稠密定理により、Galois表現はほとんど全ての有限素点におけるFrobeniusにより決定できることがわかっているが、Frobeniusのトレースに関する合同式(相互律と呼ぶ)による決定可能性について考察した。具体的には、(i) 与えられた代数体上の代数方程式の各素点での還元における解の個数による相互律、(ii) 与えられた代数体上の代数曲線の各素点での還元における有理点の個数による相互律、の2つの場合に考察した。(i)については、奇素数pに対して表現の階数がp-1について、p次の代数方程式と相互律が成り立つ場合にmod 2 Galois表現が決定できることを示した。また、(ii)については表現におけるGalois群の像が十分に大きいときに、Galois表現の決定問題が可能となると思われ、引き続き研究を進めている。
コロナ禍のため当初予定していた海外での講演は2022年4月に延期となった。本科研費の支援で2021年7月に「第20回広島仙台整数論集会」をオンラインで開催した。若手整数論・数論幾何学研究者の登竜門的な研究集会で、非常に活発な研究発表があった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「最小スロープ予想」は、標数p>0の代数多様体上のp進局所系である過収束F-アイソクリスタルは最小スロープ部分で決定されるというものである。局所的な結果がまず証明され、それを大域化するところに困難があった。今回の大域化の考え方は、F-アイソクリスタルとその周辺の今後の研究においても重要な手法を与えるものである。
2020年度の研究において、研究分担者の山内卓也氏との共同研究でDwork族と呼ばれる3次元Calabi-Yau多様体の中間次元エタールコホモロジーのmod 2表現が、Dwork族に対応するある5次多項式族で決定されることを発見した。本年度の研究においては、その高階化や比較の対象を代数曲線のGalois表現へと発展させるものである。重さが異なるGalois表現の間にも合同関係は存在する。この研究では、単に比較定理だけでなく、合同関係の具体例を構成することを目的とした明示的な研究であり、問題の本質を明らかにすることを目的としたものである。
新型コロナウイルス感染症のため開催を検討していた研究集会で断念したものもあるが、2002年度から継続している「第20回広島仙台整数論集会」をオンラインで開催した。講演希望者が非常に多く、若手研究者の活発な講演と議論があり、整数論・数論幾何学の研究のトレンドに関する情報を得ることができた。
F-アイソクリスタルの研究において非常に重要な問題の研究を進展させ、mod 2 Galois表現の決定問題に新たな方向性を見出しその内容を講演したので、「(2) おおむねね順調に進展している。」と評価する。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究課題では、Newton多角形の変動をキーワードとした正標数代数多様体上のF-アイソクリスタルの圏と代数多様体の幾何学的または数論的な性質の関係を明らかにすることを一つの目標としている。これまでの研究で、標数0の代数曲線の双曲性の概念とNewton多角形が変動するF-アイソクリスタルの存在の不思議な 類似性があることがわかっており、その本質的な理由を解明することを目指している。研究代表者が解決した最小スロープ予想では、Newton多角形が変動がF-アイソクリスタルを決定するために非常に重要な意味を持つので、一般の代数多様体上のF-アイソクリスタルの圏について考察し、Newton多角形が変動するF-アイソクリスタルの性質の考察を行う。具体的には、スロープがジャンプする点におけるF-アイソクリスタルの最小スロープ部分から決まるp進表現のモノドロミーに関してその性質を深く探ることが重要である。このような表現のモノドロミーが無限になる現象について、大域的な性質と局所的な性質の両面からの考察を行う。
素数pに対して、代数体のガロア群のmod p表現は殆ど全ての素点での還元した多様体の性質を反映している。本研究では、これまでの研究で得られた知見、特に4次mod 2表現についての手法を発展させ、高次表現の決定やその保型性の研究を研究分担者の山内卓也氏らと共同で推進させる。p進的手法だけでなく、代数幾何学、群論、表現論など様々分野にまたがるため、関連する研究を行う研究者とコミニュケーションを取りながら研究を進める。これらの研究を通して数論幾何学の研究を発展させる。
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