| 研究課題/領域番号 |
18H05233
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
坂内 健一 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (90343201)
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| 研究分担者 |
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
寺杣 友秀 法政大学, 理工学部, 教授 (50192654)
勝良 健史 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (50513298)
小林 真一 九州大学, 数理学研究院, 教授 (80362226)
安田 正大 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (90346065)
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| 研究期間 (年度) |
2018-06-11 – 2023-03-31
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| キーワード | 数論幾何 / 整数論 / ポリログ / 代数トーラス / L関数の特殊値 |
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| 研究実績の概要 |
2020年度においては、特任准教授として山本修司、特任助教として大下達也、研究員として山田一紀を雇用して研究を進めた。当初の目的は、総実代数体に付随する代数トーラスのポリログの通常のホッジ実現を具体的に定義して、それを具体的に書き下すことを目指した。
今までの研究から、このポリログのde Rham実現を考えると新谷生成類が与えられることが予測できていたので、この考察について細部を詰めることを第一の目的とした。仮に単数群の作用による同変Deligne-Beilinsonコホモロジーの良い理論が存在するという仮定のもと、この設定でのボリログのde Rham実現は新谷生成類で生成されることが証明できた。さらに、仮に同変プレクティックDeligne-Beilinsonコホモロジーの理論が存在すると仮定すると、ポリログの等分点での特殊化が定義できることが分かり、新谷生成類との類推からこの特殊化がLerch Zeta関数の特殊値と関係すると仮定すると、総実代数体のHecke L関数の特殊値にまつわるBeilinson予想が証明できることが導かれた。多くの仮定のもとでの成果であったため、まずは、同変Deligne-Beilinsonコホモロジーの理論の構築を目指した。既存のHodge加群の理論を用いれば問題なく証明できると考えていたが、実際はかなり技術的な困難を伴う側面があり、現時点でまだ理論を完成することは叶っていない。具体的な手法でコホモロジーを定義する方法と、Hodge加群など抽象的なものを扱う２つの方向性があるが、来年度以降も両方の方法を通して検討して行きたいと考える。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
良い同変Deligne-Beilinsonコホモロジーの理論が存在すれば、非常に良い理論が展開できるところまでは確認できたが、良い同変Deligne-Beilinsonコホモロジーの理論を構築することがとても難しいと言うことが分かった。この障害をどう乗り越えるかは、今後の課題である。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究は、とりあえずは、良い同変Deligne-Beilinsonコホモロジーの理論の構築を目指す。その後、今まで構成した混合プレクティックホッジ構造の圈を用いて、プレクティック Deligne-Beilinsonコホモロジーの定義を試みる。混合プレクティックホッジ構造 を定義する際の複数のホッジフィルトレーションを複体レベルで導入する必要があり、この方法について、検討して行く予定である。来年度以降は、p進版についての研究も進める。特に、ホッジの場合と同様に、プレクティックDeligne-Beilinsonコホモロジーのp進類似であるプレ クティックサントミックコホモロジーを定義して、ポリログのp進実現を構成する。また、このp進ポリログを具体的に計算して、今まで定義した同変コホモロ ジー内のp進ポリログの特殊値と関係付けることを目指す。これが達成されれば、数論幾何的に構成されたポリログのp進実現が、総実代数体のp進Hecke L関数の 特殊値と関係することが証明される。
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