| 研究課題/領域番号 |
18H05233
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
坂内 健一 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (90343201)
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| 研究分担者 |
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
寺杣 友秀 法政大学, 理工学部, 教授 (50192654)
勝良 健史 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (50513298)
小林 真一 九州大学, 数理学研究院, 教授 (80362226)
安田 正大 北海道大学, 理学研究院, 教授 (90346065)
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| 研究期間 (年度) |
2018-06-11 – 2023-03-31
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| キーワード | 数論幾何 / 整数論 / ポリログ / 代数トーラス / L関数の特殊値 |
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| 研究実績の概要 |
2021年度においては、特任准教授として山本修司、特任助教として萩原啓、研究員として山田一紀を雇用して研究を進めた。今年度の大きな目的は、総実代数体のHecke L関数のBeilinson予想を視野に入れて、総実代数体に付随する代数トーラスのポリログの通常のホッジ実現を具体的に定義して、それを具体的に書き下して総実代数体のHecke L関数の特殊値と結び付けることであった。昨年度には、仮に単数群の作用による同変Deligne-Beilinsonコホモロジーの良い理論が存在するという仮定のもと、この設定で同変ボリログが構成できることを証明し、そのde Rham実現は新谷生成類で生成されることを証明した。今年度はこの一連の成果を論文としてまとめることに注力した。また、同変プレクティックDeligne-Beilinsonコホモロジーの理論が存在すると仮定すると、ポリログの等分点での特殊 化が定義できることが分かるが、このポリログの特殊について新谷生成類とLerchゼータ関数の類推から、総実代数体のHecke L関数の特殊値にまつわるBeilinson予想を証明できることを導いた。これらの結果をプレプリントにまとめた。同変Deligne-Beilinsonコホモロジーを定義することは依然として難しく、中々望む成果は得られなかった。実際、Deligne-Beilinsonコホモロジーは複体を張り合わせて作るが、複体が導来圏の中でしか定義されていないと、群作用と関手的になる様に張り合わせることができないという本質的な問題があることが分かってきた。この困難を回避して同変Deligne-Beilinsonコホモロジーを定義するために、具体的な手法でコホモロジーを定義する方法と、Hodge加群など抽象的なものを扱う2つの方向性について、検討を重ねた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
現状では同変Deligne-Beilinsonコホモロジーの定義はできていないが、具体的に構成する方法やHodge加群の一般論を利用するなどのアイディアを得ているので、いずれ成功できると感じている。この仮定のもと、ポリログと新谷生成類を関係付けることに成功し、さらに新谷生成類とLerch Zeta関数の関係性からポリログを等分点に引き戻した時の詳細な予想を立てることができて、この様相から総実代数体のHecke L関数のBeilinson予想が証明できることも示すことができたので、初めて高次元のポリログを、Beilinson予想の証明に適用するための詳細なアウトラインを導くことができた。今後の研究は、このアウトラインに沿って色々と証明していくことである。
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| 今後の研究の推進方策 |
一番の重要課題は、総実代数体に付随する代数トーラスのポリログを構成するために、同変Deligne-Beilinsonコホモロジーを定義することにある。このために、様々な方法を試みる。また、上記のポリログを等分点に引き戻した時の詳細な予想の研究を進める。このためには、ポリログのホッジ実現を具体的に表示する必要がある。これも、同変Deligne-Beilinsonコホモロジーの詳細な定義ができて、初めて取り組める課題である。
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