| 研究課題/領域番号 |
18J00019
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
高田 土満 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| キーワード | 指数定理 / 非可換幾何学 / KK理論 / 無限次元多様体 / RKK理論 / ループ群 / 無限次元多様体のC^*環 / 無限次元版のBott周期性 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目標は，KK理論などの非可換幾何的な道具立てを用いて無限次元多様体に対する指数定理を定式化し証明することである．その目標のための最も大きな障害は，無限次元多様体上の連続関数環が適切に定義できない点にあるが，平成30年度の研究において，Higson等による無限次元Hilbert空間の「Clifford代数値関数環」の構成を用いて，指数理論的な対象および等式（Poincare双対の一部）を定式化した．本年度は，そのアイディアを更に発展させ，Guoliang Yuが構成したHilbert多様体のC^*環のKホモロジー群と，別途構成した無限次元空間のRKK群との間のPoincare双対写像とみなせる写像を構成し，昨年度構成した「Index element」が期待通りのRKK群の要素に写ることを示した．また，そのRKK群からの「位相的組み立て写像」と見なせるような写像を構成し，やはり期待通りの元に写ることを示した．これらの結果に関する論文は現在執筆中である．
これらの構成によって，LT作用を持つ無限次元多様体の指数理論の，KK理論的な定式化の内，位相的な側面については完成したと言って良い．また，前者の「Poincare双対写像」と見なせる写像は，Yuが構成したHilbert多様体のC^*環の作用素環的不変量と，ある意味伝統的な位相的不変量の間に関係があることを示しているという意味で，YuのC^*環の構成が「まっとう」であることを示唆しており，作用素環論的にも無限次元多様体論的にも，重要な結果であると考えている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
論文を年度内に完成させることはできなかったが，作用素環的な不変量と位相的な不変量との関係を構成することができ，研究は順調に進行している．
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| 今後の研究の推進方策 |
LT作用を持つ無限次元多様体の指数理論のKK理論的な定式化に向けて必要なステップがあと二つあり（Poincare双対の逆写像の具体的な構成と解析的組み立て写像の具体的な構成）それら完成させることで指数定理を確立する．
その後，例えばFreedーHopkins-Telemanらによるループ群の表現群とねじれK理論の間の同型を，非可換幾何的により理解しやすい形で構成するなどして，得られた指数定理を応用する．
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