有理曲線とベクトル束の研究

2019 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 18J00681
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 金光 秋博 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
• 研究期間 (年度): 2018-04-25 – 2021-03-31
• キーワード: Fano 多様体 / ベクトル束 / horospherical 多様体

研究実績の概要

本年度には Fano 多様体や有理等質空間について, その中でも2つの射影空間束の構造を持つ Fano 多様体の幾何学について中心的に研究を行った.

有理等質多様体の特徴づけに関連する問題を考える際には2つの射影空間束の構造を持つ Fano 多様体は興味深いクラスの一つである. それらは Picard 数が 1 の horospherical 多様体と密接な関係にあり, したがって Picard 数が 1 の horospherical 多様体の幾何学を調べることは2つの射影空間束の構造を持つ Fano 多様体を調べる上で非常に重要である.
この観点のもと Picard 数が 1 の horospherical 多様体の幾何学について調べていたところ, そのうちのいくつかの接束が (Mumford-Takemoto) の意味で安定ではないことがわかった. これは未解決予想 「Picard 数が 1 の Fano 多様体の接ベクトル束は安定である」 に関する反例を与える. 元々 Picard 数が 1 の horosherical 多様体は Pasquier 氏によって分類されていたが, その際に Pasquier 氏は 「軌道が2つしかない Fano 多様体」 を部分的に分類していた. このクラスには horospherical 多様体とそれ以外に2つ例外的な多様体があるがそれらについて接束の安定性を完全に決定することができた. またその過程で Pasquier 氏によって分類されていた2軌道多様体の双有理幾何学およびある種の極大な葉層構造を記述した. 以上の発見について論文を執筆し arXiv にてプレプリントを発表した.

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

2つの射影空間束の構造を持つ Fano 多様体の分類に向けて, その幾何学についての理解が進んだ.
また Fano 多様体と接ベクトル束に関する未解決予想 「Picard 数が 1 の Fano 多様体の接ベクトル束は安定である」 に反例を与えることができた.

今後の研究の推進方策

引き続き2つの射影空間束の構造をもつ Fano 多様体の分類に取り組む.
とくにそれらの有限性を記述する組合せ論的対象を模索する. また低次元での部分的分類の拡張にも取り組む.

研究成果

• [雑誌論文] Classification of Mukai pairs with dimension 4 and rank 2 (2019)
  • 著者名/発表者名: Kanemitsu Akihiro
  • 雑誌名: Transactions of the American Mathematical Society 巻: 372 ページ: 6629～6653
  • DOI: 10.1090/tran/7824
  • 査読あり
• [学会発表] Mukai pairs and simple K-equivalence (2020)
  • 著者名/発表者名: 金光秋博
  • 学会等名: 新潟代数セミナー (新潟大学)
• [学会発表] Fano manifolds and stability of tangent bundles (2020)
  • 著者名/発表者名: 金光秋博
  • 学会等名: The 5th KTGU Mathematics Workshop for Young Researchers (京都大学)
• [学会発表] Mukai pairs and simple K-equivalence (2019)
  • 著者名/発表者名: 金光秋博
  • 学会等名: 大阪大学 代数幾何学セミナー (大阪大学)
• [学会発表] Mukai pairs and simple K-equivalence (2019)
  • 著者名/発表者名: 金光秋博
  • 学会等名: Workshop on Calabi-Yau Varieties and Related Topics (函館コミュニティプラザ「G スクエア」)
• [学会発表] 向井対の分類とその応用について (2019)
  • 著者名/発表者名: 金光秋博
  • 学会等名: 第 64 回 代数学シンポジウム (東北大学)