| 研究実績の概要 |
先に, 研究の背景について簡単に説明しておく. Xを複素トーラス, YをXのミラーパートナーとする. この組(X,Y)はSYZ構成によってある2つの自明なトーラスファイバー束として実現することができ, 深谷圏Fuk(Y)としてYのアファインラグランジュ多重切断とその上のユニタリ局所系の組を対象とするようなものを考えた場合, そのFuk(Y)の任意の対象に対してX上のある種の射影的平坦束を一意的に対応させることができると期待されている. 特に, それらの射影的平坦束は自然にDG圏DG(X)を成し, また, このDG(X)はX上の連接層の成す導来圏を生成するということが予想されている.
以下, 本年度の研究実施状況について述べる. まず, 上記のDG(X)の対象とFuk(Y)の対象との間の対応関係に関して, DG(X)の対象の同型類全体の成す集合とFuk(Y)の対象の同型類全体の成す集合との間の全単射を明示的に与えることができた. これは高次元トーラス上におけるホモロジー的ミラー対称性の研究において重要な基礎となる結果であり, 現在投稿論文を準備中である. 一方, 本来の研究計画に含まれていたわけではないが, 高次元複素トーラスX上において定義される, Bondal, Kapranovによる構成法に基づいてDG(X)から得られる三角圏の完全三角構造に関する研究結果も新たに得ることができたので, これについてもここで述べておく. 一般的に, DG(X)の3つの対象から成る完全三角系列を考えた場合, それは楕円曲線上における3つの射影的平坦束から成る完全三角系列から誘導されるものになっているということが期待できるが, 本年度, このことに関する部分的結果も実際に得ることができた. この結果は本研究報告書作成者の博士論文における主結果としてまとめられている.
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