| 研究課題/領域番号 |
18J20418
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
日下部 佑太 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| キーワード | 岡多様体 / Stein多様体 / 岡の原理 / 楕円性 / 正則写像 / 写像空間 / 局所化原理 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目標として、正則写像の空間の幾何による岡多様体の有用な特徴付けを得ることやGromovの楕円性と岡性の差を明確にすることがあった。本年度の研究ではGromovが導入したEll_1と呼ばれる条件を詳しく研究することで、これらの目標をおおむね達成することができた。
条件Ell_1とは一言でいうと相対的な楕円性であり、ある複素多様体が条件Ell_1を満たすとは任意のStein多様体からその複素多様体への任意の正則写像の上にdominating sprayと呼ばれるものが存在することである。この条件は写像空間がstrongly dominableであるというようにも言い換えられ、写像空間の複素幾何的な条件と見ることもできる。本年度では以前の研究で得た正則写像の近似法を用いることで、条件Ell_1が岡多様体を特徴付けることを示した。これによりGromovの楕円性と岡性の差をある程度明確にすることができた。
この特徴付けの応用として他にも様々な岡多様体の特徴付けを得ることができ、目標としてあった写像空間の小林擬距離の消滅による岡多様体の特徴付けに近いものも得られた。また劣楕円性が岡性の十分条件であるというForstnericの定理の別証明や、条件Ell_1から岡の原理が導かれるというGromovの予想に対する肯定的な解答が得られた。
そして期待以上の応用として、岡であるようなZariski開集合によって被覆される複素多様体は岡多様体であるという局所化原理が得られた。この局所化原理を用いることで岡多様体の新たな例や、Larussonにより証明されていた非特異トーリック多様体が岡であるということの直接的な別証明を得ることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Gromovの条件Ell_1を研究することで、本研究の目標であった写像空間の幾何による岡多様体の有用な特徴付けを得ると共に楕円性と岡性の差をある程度明確にすることができた。
また条件Ell_1による特徴付けを用いて局所化原理を得ることに成功し、応用として岡多様体の新たな例を発見することができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は具体例を調べることにより楕円性が岡性の必要条件でもあるかどうかについて研究を進めていく。
特に、2次元以上の複素Euclid空間から閉単位球を除いた領域は楕円的ではないがFatou-Bieberbach領域で被覆されることが知られており、このような例の岡性を調べることで楕円性と岡性の関係だけでなくEuclid位相に関する局所化原理についても考察する。
また本年度の研究結果を岡多様体から岡写像へ一般化することで、完成度を高めると共に応用範囲を広げることを目指す。
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