| 研究課題/領域番号 |
18J20418
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
日下部 佑太 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| キーワード | 岡多様体 / Stein多様体 / 岡の原理 / 楕円性 / 凸楕円性 / 正則写像 / 写像空間 / 局所化原理 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目標として、複素多様体が岡であるための十分条件である楕円性が必要条件でもあるかというGromovの問題を解決することがあった。本年度の研究では、楕円的でない岡多様体を具体的に構成することでこの問題を否定的に解決した。
上述の例は複素Euclid空間内の離散的でない閉可算集合の補空間として得られ、それが楕円的でないことはAndrist-Shcherbina-Woldの結果から従う。実際には彼らの証明を改良することで弱劣楕円的でないことも確かめることができた。
一方で、この補空間の岡性は以下で述べる定理の系として得られた。その定理とは、次元が2以上の複素Euclid空間内の閉可算集合に対して（無限遠での挙動が）tameかつ導集合が離散的ならばその補空間は岡であるというものである。この定理は離散可算集合に対するForstnericとPrezeljによる結果を一般化する。証明では、前年度に得られた写像空間の幾何による岡多様体の特徴付けの系である局所化原理が重要な役割を果たした。また上の定理は補空間だけでなく爆発に対しても同様の主張が成り立つ。これらの応用として、Hopf多様体内の有限集合に対する補空間や爆発が岡であることも示した。この結果はForstnericの論文で提起された問題を解決している。
本年度のもう一つの大きな研究成果として、前年度の主結果の相対版である岡写像の凸楕円性による特徴付けも確立することができた。この特徴付けの応用としてGromov型の岡の原理とForstneric型の岡の原理を概念上統一することに成功した。同論文にてGromov型でもForstneric型でも捉えられない岡の原理の例があることも発見した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
複素Euclid空間内の離散的でない閉可算集合の補空間の岡性を研究することで、本研究の目標の一つであった楕円性の必要性に関するGromovの問題を否定的に解決することができた。
また凸楕円性による岡多様体の特徴付けを相対的な状況に一般化することに成功し、応用としてGromov型の岡の原理とForstneric型の岡の原理を統一することができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後はこれまでの研究で得られた結果を用いて新たな岡多様体の例を見つけることに注力し、岡多様体論の応用範囲の拡大を目指す。
特に、本研究の目標の一つである岡性の双有理型不変性がどのようなクラスの複素多様体に対して成り立つのかを調べる。
また本年度の研究で得られた岡写像の特徴付けをさらに一般化することで、岡多様体論の洗練及び抽象化を目指す。
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