| 研究課題/領域番号 |
18J20727
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
望月 健 北海道大学, 大学院工学院, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| キーワード | 非線形 / 分岐現象 / 離散時間系 |
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| 研究実績の概要 |
昨年度は、フィードフォワード制御に起因する非線形効果を取り入れた量子ウォークにおいて、トポロジカルに保護されたエッジ状態の安定性を調べた。まずは、先行研究で扱われている系に着目した。先行研究ではエッジ状態の安定性を議論する際に、量子ウォークの持つ時間方向の離散的周期性を無視する連続体近似を行っていた。さらに、エッジ状態の空間的な局在を正しく取り扱っていなかった。そこで本研究では、上述の二点、時間方向の離散周期性とエッジ状態の局在性を取り入れた線形手安定性解析を行った。その結果、非線形効果の強さに依存してエッジ状態が不安定化するという、先行研究では議論されていなかった分岐現象が存在する事、及びその分岐現象に対して時間方向の離散的周期性が本質的に重要である事を示した。この時、定常状態がトポロジカルなエッジ状態である必要はないため、様々な離散時間系で同様の分岐現象が普遍的に存在し得る。また、先行研究の解析手法を用いる事ができない、すなわち連続極限の下での線形安定性解析を適用できない系におけるエッジ状態の安定性も調べ、時間方向の離散周期性に起因する同様の分岐現象が存在する事を示した。さらに、スペクトルノルムとスペクトル半径にして成立する不等式を基に両方の系における分岐線を解析的に求めた。本研究で用いた手法を援用する事で、他の時間周期駆動系においても定常状態が安定固定点から不安定固定点に変わる分岐点を解析的に導出できる可能性が高い。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
両方の系において、線形安定性解析から帰結されるエッジ状態の安定領域/不安定領域に関する相図を作成した。また、数値シミュレーションによりに系のダイナミクスを再現し、終状態とエッジ状態とのフィデリティを求める事でエッジ状態の安定性に関する相図を作成した。二つの手法で作った相図を比較する事で、解析的な結果と数値的な結果が非常によく一致する事を示した。さらに、エッジ状態からの揺らぎのダイナミクスを記述する非ユニタリー行列に対してスペクトル半径に関する定理を適用する事で、分岐点を解析的に求めた。そうして得られた分岐点と厳密対角化から得られた分岐点を比較し、両者が良く一致する事を見出した。これは、複雑な計算をせずに分岐点を厳密に求める事ができ、計算の簡略化が可能である事を意味する。これらの結果は、Journal of Physics A 誌に掲載済みである。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は、非エルミート量子力学を物性系に適用し、空間的な乱れがある環境下でのボーズ・アインシュタイン凝縮体の安定性を調べる。ボーズ・アインシュタイン凝縮体を記述するグロス・ピタエフスキー方程式に空間的な乱れを導入し、定常解を数値的に求める。得られた定常解を基に準粒子励起に対する非エルミートなハミルトニアンを導出し、その固有値から凝縮体の安定性を解析する。乱れについて統計平均をとった複素固有値(凝縮体を不安定化させる)の割合を乱れの強さの関数として表示し、空間的な乱れがボーズ・アインシュタイン凝縮体の安定性に与える影響を調べる。特に、空間的な乱れによる固有値実数化(初年度に明らかにした性質)に着目し、乱れの無い場合は不安定な凝縮体が、乱れにより安定化するのかを調べる。
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