| 研究課題/領域番号 |
18J21528
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
原田 浩一 東京大学, 理学系研究科, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| キーワード | アファイン・ヤンギアン / ミニマル模型 / Gaiotto-Rapcak |
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| 研究実績の概要 |
GaiottoとRapcakにより構成されたW代数を用いてミニマル模型の研究を行った。この構成法では5ブレーンとD3ブレーンを適切に配置することで、2次元の共通部分にW代数を実現している。D3ブレーンの枚数に応じて様々なW代数が現れるが、それらは全てアファイン・ヤンギアンという代数のtruncationとして得られると考えられている。また、5ブレーンをつなぎ合わせることで、より広範なW代数を得ることができる。
本研究では、アファイン・ヤンギアンの表現論を用いてミニマル模型の解析を行った。アファイン・ヤンギアンはplane partition(3次元版のヤング図)でラベルされる表現基底を持つが、GaiottoとRapcakによるW代数の表現基底はplane partitionに適当な制約を課すことで実現できる。ミニマル模型の場合にはさらに強い制約が課されることになるが、本研究ではこの点について詳しく調べ、plane partitionに対して具体的にどのような制約を課せばよいかを明らかにした。この手法を用いることでW代数のミニマル模型を全て導出できることを明らかにした。また、plane partitionを2つ貼り合わせることで、より広範なW代数のヒルベルト空間を記述できることを示し、N=2超ビラソロ代数のユニタリ・ミニマル模型を例に取り、解析を行った。その結果、指標やプライマリー場を正しく再現できることが確認できた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
W代数は代数関係式が複雑になることから、これまでヒルベルト空間を直接的に記述することは難しかったが、本研究ではplane partitionを用いてあからさまな表示を得ていると言える。また、この表示では異なるW代数間の間の双対性が明白な形で実現されており、興味深い成果だと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
ミニマル模型はある意味最も基本的な共形場理論の模型であるが、本研究で得た手法がより複雑な表現についても適用できるかどうかは興味深い。最初の例としては、affine Kac-Moody代数の許容表現が挙げられる。
また、アファインヤンギアンの貼り合わせを量子トロイダル代数に持ち上げてq変形を構成できるかも興味深い問題である。
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