| 研究実績の概要 |
本年度は代数的サイクルとトロピカル幾何の関係を調べ，複素数体および自明付値無限体上の滑らかな代数多様体に対し，その有理Chow群が有理トロピカルコホモロジーの一部と同型であることを証明した．これは複素代数幾何の主要な未解決問題であるHodge予想のトロピカルコホモロジーに対する類似である．その系としてGrothendieckの代数的サイクルの標準予想Dの類似（トロピカルホモロジカル同値と数値同値が等しいこと）も得られた．
より具体的には，曲面などの場合の具体的な計算とLiuによるMilnor K理論を用いたトロピカルサイクル類写像の構成から着想を得て，Milnor K理論のトロピカル類似（以下，トロピカルK理論）を導入し，「（有理）トロピカルコホモロジーが，（有理）トロピカルK理論のZariski層の層コホモロジーである」ことを示した．高次元の多様体のトロピカルコホモロジーを直接計算することは困難であるが，定理の証明ではQuillen,Bloch-Ogus,Gabber,Rost,Colliot-Thelene-Hoobler-Kahnらによって与えられた一般の「コホモロジー理論」に関する定理を用いることで，非アルキメデス幾何の簡単な計算に帰着させ解決した．
また具体例として，滑らかなトーリック多様体のトロピカルコホモロジーが，特異コホモロジーの重みフィルトレーションの次数付き商と同型であることを証明した．証明にはホモトピー普遍性と組の完全列とTotaroとJordanによって与えられた重みフィルトレーションの次数付き商の組み合わせ的表示を用いた．
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