| 研究課題/領域番号 |
18K03200
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| 研究機関 | 北海道教育大学 |
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研究代表者 |
後藤 泰宏 北海道教育大学, 教育学部, 教授 (40312425)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 数論的代数幾何 / 形式群 / カラビ・ヤウ多様体 / デルサルト型多様体 / 国際研究者交流（カナダ） |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、正標数の体上定義されたカラビ・ヤウ多様体の形式群の特徴を調べることである。考察する形式群はいずれも１次元の形式群であり、高さと呼ばれる量によって分類される。本研究においては、K3曲面や楕円曲線によるファイブレーションを持つ３次元カラビ・ヤウ多様体について、各ファイバーの形式群と本体の形式群との間にどのような関係性があるか調べるとともに、本体の３次元カラビ・ヤウ多様体の形式群の高さが取りえる値の範囲や特徴的な形式群を持つカラビ・ヤウ多様体の性質等について考察する。
新型コロナウイルス感染症の影響で研究期間を延長せざるを得なくなり、令和３年度が計画４年目となった。これまでに得た結果を踏まえて、考察するファイブレーションの範囲を一般型の曲線や曲面に拡張し、Borcea-Voisin型３次元カラビ・ヤウ多様体に対して成り立つ関係式の一般化を目指した。また、Berglund-Hubsch-Krawitz（BHK）型ミラー対称性を利用して、デルサルト型多様体をペアで考察する研究を継続した。研究協力者の由井典子氏とはメールによって定期的に連絡を取りながら次の結果を得た。
（１）デルサルト型３次元カラビ・ヤウ多様体と各ファイバーの形式群の高さについて、ファイバーの種類を一般型曲線に拡張して、高さに関する関係式を導いた。なお、その関係式は、多様体の形式群全体の比較ではなく部分的な比較によるものである。（２）BHK型ミラー対称性の構成方法の拡張を検討し、いくつかの具体例において形式群の高さへの影響を計算した。（３）また、昨年度延期した台北での研究集会「Workshop on Calabi-Yau Varieties and related topics」について、規模を縮小して令和３年10月にオンラインで開催した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
令和３年度は、それまでに得られていた結果をもとに、３次元カラビ・ヤウ多様体の形式群の高さについて各ファイバーの情報を利用しながら考察を進めた。楕円曲線やK3曲面によるファイブレーションを持つデルサルト型３次元カラビ・ヤウ多様体を中心的に扱いつつ、考察するファイブレーションの範囲を一般型の曲線や曲面の一部にまで拡張し、高さの関係性を定式化できた。また、Berglund-Hubsch-Krawitz型ミラー対称性に関して、いくつかの具体的な多様体を用いて数量的な計算を行うことができた。さらに、新型コロナウイルス感染症の影響によって昨年度延期した国際研究集会をオンラインで開催することもできた。以上のことから、一定の進展はあったものと考える。
しなしながら、予定していたカナダでの研究打合せと研究発表は令和３年度も中止せざるを得ない状況となり、所属大学の管理運営業務も忙しさを増したことから十分な研究時間を確保することが難しかった。
以上を総合的に考えて、当初の計画にやや遅れが生じていると判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後もおおむね当初の計画通りに研究を進める予定である。研究期間の再延長となった令和４年度は、これまでに得た結果をもとに、各種ファイブレーションを持つ３次元カラビ・ヤウ多様体の形式群の高さについて、各ファイバーの情報を利用しながら考察を進める。具体的な目標は次の３つである。
（１）考察するファイバーとして、楕円曲線やK3曲面だけでなく一般型の曲線や曲面も含めることによって研究対象を広げ、３次元カラビ・ヤウ多様体本体と各ファイバーの形式群との間にある関係性を等式もしくは不等式によって記述することを目標とする。特に、特徴的な関係性を持つ多様体については、その幾何学的性質を考察する。（２）さらに、３次元多様体において得られた関係性を一般次元のカラビ・ヤウ多様体に拡張することを目指し、理論的な考察とともに、４次元カラビ・ヤウ多様体等において数量的な計算を実行する。（３）また、カラビ・ヤウ多様体の形式群と密接に関わるNewton多辺形において、形式群の高さに関わる辺以外の辺々の傾きを計算し、３次元カラビ・ヤウ多様体の特徴やミラー対称性との関係について考察したい。
これまでと同様、計算ソフトMagmaを使った計算機実験を行う計画である。研究協力者の由井典子氏とは、令和４年度もメールによって定期的に連絡を取り合い形式群に関する助言を求めつつ、カナダもしくは日本での打合せを予定にしている。成果発表は、国内と国外で１度ずつを予定する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度には481,786円が繰り越されることとなった。その主な要因は、新型コロナウイルス感染症の影響で、当初予定していたカナダでの研究打合せが再度延期となったことである。海外渡航の中止に加えて、国内の研究集会についても出席できなくなり国内旅費の使用も無く、謝金を伴う研究補助依頼の必要も生じなかった。このような事情により、研究計画全体の再延長を決め研究費を次年度に繰り越すこととした。
上記繰越金については、延期されたカナダ等での国際研究集会への参加を再度目指すことや国内での打合せ旅費等のために使用する予定である。また、必要に応じて遠隔打合せのための情報機器の更新を検討する。
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