| 研究実績の概要 |
当該年度では, 格子上のパスの数え上げとして, Hilmann-Grasslアルゴリズムを捉えるにあたって必要となる公理化・定式化について, より簡潔かつ本質的な記述となるように, 条件の見直しを行った. この条件の書き換えによって, その後の理論の見通しが良くなることが期待できる. 実際に, swivel-freeなd-complete posetの場合に具体的な実現を与えることができるようになった.
Hilmann-Grasslアルゴリズムへの直接の貢献の他に, 可換環のLefschetz性に関連する数え上げ問題について研究が進んだ. 具体的には, 2変数の完全交叉環は強Lefschetz性をもつことが知られており, その掛け算写像の標準的な基底に関する表現行列は二項係数を成分とする良い形の行列であり, その行列式はGiambelliの公式で計算することができ, 具体的な値がヤング盤の個数として計算できる. Giambelliの公式における, 二項係数を基本対称式に, ヤング盤の個数をSchur多項式に, それぞれ置き換えた公式がJacobi-Trudi公式という名で知られている. 先行研究ではGiambelliの公式が現れていた部分をJacobi-Trudi公式が現れるような形に, 問題を自然に一般化することができた. 問題の一般化の方法は以下の通りである: Ledscetz性を考える際に, 通常は1次の元を固定しその冪を考える. 1次の元を固定せず積を取ると, 表現行列の成分には係数の基本対称式が現れる. 特に, 2変数の完全交叉環の場合には, この表現行列が良い形をしており, その行列式はSchur多項式として計算ができる.
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| 今後の研究の推進方策 |
概ね順調に研究は進行しているので, 研究計画にある通りに研究を進める. 特に, 格子上のパスの数え上げとして, Hilmann-Grasslアルゴリズムを捉えるにあたって必要となる公理化・定式化について, 現段階での抽象化の方法での研究成果を論文などの形で発信をし, 次のステップである, 新しい具体例の構成などの問題について取り組む.
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