| 研究実績の概要 |
以下、Gを群、Iを小圏とし、kを可換環とする。また、k-小圏 [微分次数k-小圏] 全体、それらの間の関手全体と自然変換のなす2-圏をk-Cat [k-DGCat] とおく。導来同値の貼り合わせ理論を、以下のように微分次数k-圏に拡張した。すなわち、G作用を持つ微分次数圏Cおよびそれらの間の射f: C → C'、射の間の自然変換からなる2-圏G-DGCatの設定を、Iからk-DGCatへの余弱関手(colax functor) Xおよびそれらの間の射(F,φ): X → X'、射の間の自然に定義される2-射からなる2-圏Colax(I,k-DGCat)の設定に一般化し、G-DGCatの射fに対する擬同値の定義を、Colax(I,k-DGCat)の射(F,φ)に対する擬同値の定義に拡張した。次にColax(I,k-DGCat)の対象Xに対するI-不変傾部分余弱関手を定義し、XとX'が導来同値であることの定義を自然に与えた。さらに、XのGrothendieck構成の定義をこれまでの定義を拡張するようにして与えた。このとき、Gr(X)は各X(i) (iはIの対象)の貼り合わと解釈でき、以下の(1), (2), (3)において(1)=>(2)=>(3)が成り立つという定理を証明した（この定理では簡単のためkを体とする）。
(1) X, X'は導来同値である。
(2) X'は、Xに対するI-不変傾部分余弱関手Tに擬同値である。
(3) Gr(X)とGr(X')は導来同値である。
Iの各対象iに対して、(2)のTが対応させるT(i)はX(i)に対する傾部分圏であり、X'(i)はそれに擬同値となっている。それらの導くX(i)とX'(i)の間の導来同値が(3)において貼り合わされる。ここで重要なのは、(2)=>(3)で、(1)は(2)の意味づけを与える。(2)=>(1)も成り立つと予想される。
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