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2018 年度 実施状況報告書

計算代数解析アルゴリズムの効率化と特異点変形への応用

研究課題

研究課題/領域番号 18K03214
研究機関徳島大学

研究代表者

鍋島 克輔  徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 准教授 (00572629)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2022-03-31
キーワード半擬斉次孤立特異点 / 特異点変形 / integral dependence / イデアル所属問題 / 包括的グレブナー基底系
研究実績の概要

半擬斉次多項式fのs乗のゼロ化イデアルを計算するための効率的アルゴリズムの構成を目標に研究を行っている。これは、半擬斉次孤立特異点の性質を利用し計算効率を上げる方法である。元々のアイデアは1980年代の論文であるが、そこに書かれている計算はアルゴリズム化されてないことより、計算機代数と特異点論を用いてアルゴリズム化し計算機に実装することが目的である。
1年目では、アルゴリズム化する際に必要となる局所環での「イデアル所属問題判定」「拡張イデアル所属問題」「integral dependence relation計算」の効率的アルゴリズムが構成できた。これらは、本研究の目的のために必要な道具であったが、単独の研究テーマとしても独立したものであると共に基礎的なものより、こらの計算アルゴリズムを構成したことは計算機代数学はもとより、多くの数学の分野に役立つと思われる。もちろん、これにより主目的までの距離が近くなった。
また、先行研究で得られているfのs乗のゼロ化イデアル計算アルゴリズムを、特異点の変形理論に対応すべくパラメータ版に拡張した。これは、PBW-代数での包括的グレブナー基底系を利用した方法である。この拡張版を用いて、inner modality 2の場合の特異点変形におけるBernstein-佐藤多項式を世界で初めて全て求めることができた。
本研究に付随する対数的ベクトル場の計算法に関する研究と、計算機代数の道具についても計算法を確立することが出来ている。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

半擬斉次多項式fのs乗のゼロ化イデアルを計算するための効率的アルゴリズムの構成においては、必要な理論・道具は8割ぐらいは構成できた。具体的には「イデアル所属問題判定」「拡張イデアル所属問題」「integral dependence relation計算」の構成である。また、関連する研究として包括的グレブナー基底と根のチェック法を用いてBernstein-佐藤多項式を計算する方法も確立した。
研究計画書に書いた計画よりも研究は順調に進展している。

今後の研究の推進方策

主目的である「半擬斉次多項式fのs乗のゼロ化イデアルの効率的な計算アルゴリズム」の構成と計算機への実装を行う。「generalized integral dependence relation計算アルゴリズム」をまず構成し主目的の達成をしたい。また、全ての計算ステップはパラメータが介在しても計算可能なことより、パラメータを含む場合へ計算法の拡張も行う。
1年目で得られたinner modality 2の場合のBernstein-佐藤多項式の計算法は、inner modality 2の場合は有効であったが、inner modality 3の特異点に対しては、fのs乗のゼロ化イデアルを求めることが出来なかった。実際、最新の計算機を用いても3か月以上を要すし、inner modality 3の場合の結果は得られていない。すなわち、inner modality 3の場合には本研究の主目的である「半擬斉次多項式fのs乗のゼロ化イデアルを計算するための効率的アルゴリズムの構成」が必要となる。
アルゴリズムが構成できれば、解析的不変量であるinner modality 3の半擬斉次孤立特異点のBernstein-佐藤多項式を計算する。

  • 研究成果

    (11件)

すべて 2019 2018

すべて 学会発表 (11件) (うち国際学会 3件、 招待講演 1件)

  • [学会発表] Computing parametric systems2019

    • 著者名/発表者名
      鍋島克輔
    • 学会等名
      Quantum Math
  • [学会発表] Chern-Schwartz-MacPherson class の計算法について2019

    • 著者名/発表者名
      鍋島 克輔, 田島 慎一
    • 学会等名
      日本数学年会(函数論)
  • [学会発表] ジェネリックな一次関数のブルース・ロバート・ミルナー数について2019

    • 著者名/発表者名
      鍋島 克輔, 田島 慎一
    • 学会等名
      日本数学年会(函数論)
  • [学会発表] イデアル商を用いた点での多様体の次元判定2019

    • 著者名/発表者名
      鍋島 克輔, 田島 慎一
    • 学会等名
      Risa/Asir conference 2019
  • [学会発表] 超曲面の孤立特異点に沿った対数的ベクトル場と応用2018

    • 著者名/発表者名
      鍋島克輔, 田島慎一
    • 学会等名
      第27回日本数式処理学会大会
  • [学会発表] ボーダー基底とスタンダード基底の関係性について2018

    • 著者名/発表者名
      鍋島克輔
    • 学会等名
      日本数式処理学会 理論分科会&システム分科会合同研究会,
  • [学会発表] 包括的グレブナー基底系とμ-constant deformation に付随したb-関数の計算2018

    • 著者名/発表者名
      鍋島克輔
    • 学会等名
      北海道大学応用特異点ラボセミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] Testing zero-dimensionality at a point of varieties defined by a parametric ideal2018

    • 著者名/発表者名
      鍋島克輔, 田島慎一
    • 学会等名
      数理解析研究所共同研究「Computer Algebra - Theory and its Applications」,
  • [学会発表] Computation methods of b-functions associated with -constant deformations -- Case of inner modality 2 --2018

    • 著者名/発表者名
      Katsusuke Nabeshima and Shinichi Tajima
    • 学会等名
      24th Conference on Applications of Computer Algebra
    • 国際学会
  • [学会発表] An effective method for computing Grothendieck point residues2018

    • 著者名/発表者名
      Shinichi Tajima and Katsusuke Nabeshima
    • 学会等名
      24th Conference on Applications of Computer Algebra
    • 国際学会
  • [学会発表] On applications of technology to understanding hierarchies of elementary geometry2018

    • 著者名/発表者名
      Yosuke Sato, Ryoya Fukasaku, Katsusuke Nabeshima
    • 学会等名
      The 23rd Asian Technology Conference in Mathematics
    • 国際学会

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公開日: 2019-12-27  

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