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2021 年度 実施状況報告書

計算代数解析アルゴリズムの効率化と特異点変形への応用

研究課題

研究課題/領域番号 18K03214
研究機関東京理科大学

研究代表者

鍋島 克輔  東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 准教授 (00572629)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2023-03-31
キーワード包括的グレブナー基底系 / ネター作用素
研究実績の概要

2021年度は特異変形に必要なパラメータの介在したシステムの数式処理の研究に大きな進展があったと共に,計算代数解析アルゴリズムに必須の道具となりつつあるネター作用素の計算法に大きな進展があった。「包括的グレブナー基底系の新たな計算アルゴリズムの発見」、「ゼロ次元イデアルのネター作用素の計算法の研究」、「特異点変形に対応したパラメータ付きb-関数の研究と実装」が2021年度の研究成果である。
グレブナ―基底の安定性を用いて構成されている包括的グレブナー基底系計算アルゴリズムのボトルネックを解消すべく新たな計算法を考案し、今まで計算できなかったものを計算できるようにした。また、ネター作用素計算の新たなアルゴリズムを構成し、現存するプログラムの中で最速のネター作用素プログラムを作成した。
原点以外に台を持つ場合の代数的局所コホモロジー計算の新たな考察も行い、進展しつつある。2021年度は計算代数解析アルゴリズムの基礎的な道具の研究・開発に大きな進展があった。これにより、多方面からの研究アプローチができるようになった。
新たな計算機代数を目指し、ネター作用素と代数的局所コホモロジーを用いて、多項式環のイデアルを表現し、計算機代数学(数式処理)の理論を書き換える研究も同時に行っている。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本研究課題からは、想定よりも多くの結果が次々と得られており、その多くが論文としてすでに出版されている。また、研究を始める前に想定していたことよりも、多くのものに関連があり、関連するものの研究も同時並行で行っている。得られた新たな結果を用いることにより、前年度まの結果を更により良いものに改良することもできている。
特異点の性質や、PBW代数の性質を利用し計算量が大きいAnn(f^s)とb-関数の計算法に新たな改良もなされた。当初予定していた研究内容の大部分については着手すると共に良い結果が得られており,また,本研究課題での数学的な対象となる計算法の改良も随時行われていると共に、想定した対象の計算法は確立しているがコンピュータへ実装がいくつか残っている。

今後の研究の推進方策

今後の研究の1つ目は、近年得られた新たな包括的グレブナー基底系計算アルゴリズムを偏微分作用素環でのグレブナー基底に適用しコンピュータに実装することである。2つ目は、PBW代数の性質とsyzygyを利用した Ann(f^s) を計算するアルゴリズムの実装とパラメータ版への拡張を行う。半擬斉次特異点の性質を利用したAnn(f^s)の計算法とPBW代数の性質を利用した方法の融合も検討する。
上記の実装が終わり次第、inner modality 3 以上の半擬斉次特異点のb-関数の特異点変形におけるパラメータ依存性を計算する。
当初予定していた研究内容の大半は、予想通り進んでおり良い結果が得られている。上記の研究が終わり次第、新たな計算機代数の理論展開を目指し、ネター作用素と代数的局所コホモロジーを用いて新たな数式処理アルゴリズムの構成を行う研究に着手する。

次年度使用額が生じた理由

予定していた国際会議、国内研究集会、研究打合せ出張がコロナ禍で中止となり差額が残金となった。次年度に研究成果を対面の研究集会で発表するための旅費として使用する予定である。

  • 研究成果

    (13件)

すべて 2022 2021

すべて 雑誌論文 (6件) (うち査読あり 5件、 オープンアクセス 2件) 学会発表 (7件) (うち国際学会 2件)

  • [雑誌論文] An effective method for computing Grothendieck point residue mappings2022

    • 著者名/発表者名
      Tajima Shinichi、Nabeshima Katsusuke
    • 雑誌名

      Journal of Algebra

      巻: 593 ページ: 568~588

    • DOI

      10.1016/j.jalgebra.2021.11.013

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A New Deterministic Method for Computing Milnor Number of an ICIS2021

    • 著者名/発表者名
      Tajima Shinichi、Nabeshima Katsusuke
    • 雑誌名

      Lecture Notes in Computer Science

      巻: 12865 ページ: 391~408

    • DOI

      10.1007/978-3-030-85165-1_22

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Computing Grothendieck Point Residues via Solving Holonomic Systems of First Order Partial Differential Equations2021

    • 著者名/発表者名
      Tajima Shinichi、Nabeshima Katsusuke
    • 雑誌名

      Proc. International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation

      巻: - ページ: 361~368

    • DOI

      10.1145/3452143.3465526

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Testing Zero-Dimensionality of Varieties at a Point2021

    • 著者名/発表者名
      Nabeshima Katsusuke、Tajima Shinichi
    • 雑誌名

      Mathematics in Computer Science

      巻: 15 ページ: 317~331

    • DOI

      10.1007/s11786-020-00484-y

    • 査読あり
  • [雑誌論文] An Algorithm for Computing Torsion Differential Forms Associated with an Isolated Hypersurface Singularity2021

    • 著者名/発表者名
      Tajima Shinichi、Nabeshima Katsusuke
    • 雑誌名

      Mathematics in Computer Science

      巻: 15 ページ: 353~367

    • DOI

      10.1007/s11786-020-00486-w

    • 査読あり
  • [雑誌論文] 零次元準素イデアルのネター作用素の計算と応用 --- 新たなる数式処理をめざして ---2021

    • 著者名/発表者名
      鍋島克輔、 田島慎一
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録

      巻: 2185 ページ: 1~15

    • オープンアクセス
  • [学会発表] 代数的局所コホモロジーを用いた準素イデアル分解について2022

    • 著者名/発表者名
      鍋島克輔
    • 学会等名
      Risa/Asir Conference 2022
  • [学会発表] グレブナー基底の安定条件を求める新たな戦2021

    • 著者名/発表者名
      鍋島克輔
    • 学会等名
      京都大学数理解析研究所共同研究,「Computer Algebra -- Theory and its Applications」
  • [学会発表] CSSg method for several genericities of deformation of hypersurface singularities2021

    • 著者名/発表者名
      鍋島克輔, 田島慎一
    • 学会等名
      京都大学数理解析研究所共同研究,「可微分写像の特異点論とその応用 」
  • [学会発表] 孤立特異点を持つcomplete intersectionのMilnor数のdeterministicな計算法について---auxiliary indeterminatesの利用---2021

    • 著者名/発表者名
      鍋島克輔、 田島慎一
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会(函数論)
  • [学会発表] Noetherian representations for zero-dimensional ideals2021

    • 著者名/発表者名
      Tajima Shinichi、Nabeshima Katsusuke
    • 学会等名
      International Conference on Applications of Computer Algebra
    • 国際学会
  • [学会発表] Computing holonomic D-modules associated to a family of non-isolated hypersurface singularities via comprehensive Groebner systems of PBW algebra2021

    • 著者名/発表者名
      Tajima Shinichi、Ohara Katsuyoshi、Nabeshima Katsusuke
    • 学会等名
      International Conference on Applications of Computer Algebra
    • 国際学会
  • [学会発表] ネター作用素を用いた零次元イデアルの準素イデアル分解と復元2021

    • 著者名/発表者名
      鍋島克輔、 田島慎一
    • 学会等名
      日本数式処理学会大会

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公開日: 2022-12-28  

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