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2018 年度 実施状況報告書

tame非可換射影多様体の幾何学とそれに付随する表現論の研究

研究課題

研究課題/領域番号 18K03220
研究機関大阪府立大学

研究代表者

源 泰幸  大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (50527885)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2021-03-31
キーワード非可換代数幾何学 / Calabi-Yau代数
研究実績の概要

M. Herschend氏との共同研究において前射影的代数を一般化した代数の研究を進めた。この代数の特別な場合はEtingof-RainsによりクイバーがDynkin型の場合に研究され、また、一般の場合はN=1クイバーゲージ理論において研究されていたものである。主要な成果は当該代数のCalabi-Yau(CY)性であり、2通りの証明を与えた。
一つ目はクイバーの表現論、特にAuslander-Reiten理論を活用するものである。鍵となるのは普遍AR三角と呼びうる両側加群の完全三角である。これは既約加群をテンソルするとAR三角が得られる両側加群の完全列である。クイバー表現の圏は網目関係式と呼ばれる2次の関係式を持つことは基礎的な事実であるが、今回の研究でクイバー表現の圏には3次の関係式が隠れていることが判明した。この手法により当該代数とクイバー表現の圏との密接な関係が明らかになり、Etingof-RainsによるDynkin型の場合の次元公式を系としてもつ加群の同型を得た。
CY性の二つ目の証明はCrawley-Boeveyによる変形前射影的代数を活用するものである。以下に述べる一般的な二つの命題を用いることで変形前射影的代数のCY性から当該代数のそれが従う。可換環の拡大S/Rと(可換とは限らない)S代数Aを考え、A/Sがn-Calabi-Yau(CY), S/Rがm-CYの時、A/Rが(n+m)-CYになることを示した。また、CY性が基礎の可換環の拡大で保たれることを示した。
また、クイバーが拡大Dynkin型の場合には特異導来圏の記述を得た。Amiot-Iyama-Reitenによる一般論(を少し拡張したもの)を用いて2道代数(というべきもの)の導来圏との同値性を示した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

前射影的代数はクイバーの表現論にかかわる数学にあらわれ数多くの重要な応用を持っている。今年度研究した代数は前射影的代数の拡張として同様に重要な研究対象となるであろうことが期待できる。【研究実績の概要】の項目で述べた証明方法の一つ目で述べた普遍AR三角はクイバー表現の圏以外でも成り立つものであり、多くの応用が期待できる。また、証明方法の二つ目で述べたCY性に関する結果も同じく広範な応用が期待できる。その他、今年度得た成果は具体的な対象の基本的な性質を明らかにしたものと、基礎的な一般論の整備であり、どちらも今後の発展が期待できる。よって、当初の研究計画とは異なるが、しかし、今年度得た成果には研究に大きな進展があったといってよいであろう。

今後の研究の推進方策

非可換幾何学的には前射影的代数は標準束とみなせるが当該代数は1次ジェット束の類似とみなせる。ただし、これは道代数にのみ通用する類似であるようなので、一般の(DG)代数に対して1次ジェット束の非可換類似が存在するのかを検証したい。普遍AR三角はAtiyah列の非可換類似であるので、高次AR理論における類似、普遍AR n角の幾何学的意味も考察したい。
環の拡大によるCY性の遺伝の問題をexact CY性に対して考察する。
クイバーが拡大Dynkinの場合に当該代数の変異とcDV特異点の特異点解消の導来圏同値の関係について考察する。

次年度使用額が生じた理由

購入を予定していたパソコンが安くなっていたため。

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2018 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 2件、 招待講演 1件)

  • [国際共同研究] Uppsala University(スウェーデン)

    • 国名
      スウェーデン
    • 外国機関名
      Uppsala University
  • [学会発表] 可換微分次数付Gorenstein 代数について2018

    • 著者名/発表者名
      源泰幸
    • 学会等名
      第31回可換環論セミナー
  • [学会発表] On finitely graded IG-algebras and their (graded) CM-modules2018

    • 著者名/発表者名
      源泰幸
    • 学会等名
      Homological and homotopical tools in category theory with applications to an Algebraic Geometry, Representation theory and Module Theory
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Resolutions of DG-modules2018

    • 著者名/発表者名
      源泰幸
    • 学会等名
      第51回環論および表現論シンポジウム
  • [学会発表] On finitely graded IG-algebras and their (graded) CM-modules2018

    • 著者名/発表者名
      源泰幸
    • 学会等名
      International Conference on Representations of Algebras
    • 国際学会

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公開日: 2019-12-27  

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