| 研究課題/領域番号 |
18K03220
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| 研究機関 | 大阪府立大学 |
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研究代表者 |
源 泰幸 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (50527885)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | quiver Heisenberg / AR triangles / cluster roots |
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| 研究実績の概要 |
昨年度M. Herschend氏との共同研究で導入したquiver Heisenberg algebras(qHa)の研究を継続した。qHaH(Q)はクイバーQにたいして定義されるものであるが、そこから有限次元代数B(Q)を構成することができ、これは道代数KQの1次元高いバージョンとみなせる性質を持っていることを明らかにしてた。これに関して今年度はB(Q)の2-APR傾関手の性質や道代数の1-APR傾関手との関係を明らかにするためにderived preprojective algebrasのAPR型の傾関手の一般論を整備した。この結果はKQ, BQに限らず広い範囲の代数に適用可能である。B(Q)の導来圏からKQの導来圏への関手を構成したのであるが、これはグロタンディーク群のレベルで見るとB(Q)のクラスタールートからKQの（正とは限らない）ルートへの全単射を与えることが分かった。このことから、B(Q)はルート系と深く関りを持つことが期待できる。
qHaの研究において普遍Auslander-Reiten三角という道代数KQ上の両側加群の複体の完全列を見出していた。これを道代数からhomologically smooth かつproperなDG代数に一般化した。道代数の場合はセール双対を具体的に計算することで結果を得たのであるが、一般化に際してはセール双対と向井paringの相互律を用いて、向井paringの計算に帰着した。さらにqHa H(Q)は道代数KQ上のあるgraded coringのKoszul双対として得られるのであるが、その構成もhomologically smoothなDG代数に一般化できることを示した。これにより昨年度の推進方策の一つを達成した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
昨年度M. Herschend氏との共同研究で導入したquiver Heisenberg algebras(qHa)は非常に豊かな具体的対象であり、様々な既存の結果や理論の一般化を示唆してくれる。今年度はそれに従い研究を進め、満足のいく結果が得られた。しかし、課題はたくさん残ってしまった。
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| 今後の研究の推進方策 |
Qがextended ADE Dynkin型の場合のqHa H(Q)の非可換射影スキームqgrH(Q)について研究を行いたい。qgrH(Q)の網目関係式における二重分岐被覆に相当するものがBaranovsky, Ginzburg and Kuznetsovにより研究されクイバー多様体との関係が明らかにされているので、それとの関係も考察したい。Qがextended ADE Dynkin型の場合にcDV特異点の特異点解消の導来圏同値の関係について考察する。
B(Q)のCoxeter行列、Euler-Ringel形式等を研究し、root系や団理論との関りを明らかにしていきたい。
homologically smooth DG代数AのqHa H(A)と導来CY完備化 \Pi(A) との関係を調べる。もともとのクイバーの場合と同様に網目関係式によるqHaの商が導来CY完備化を与えるのかを明らかにする。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
参加予定であった研究集会がいくつか中止されたのが理由です。
遠隔地とのネットを通じた研究交流のために使用します。
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