| 研究課題/領域番号 |
18K03221
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
山本 修司 慶應義塾大学, 理工学研究科(矢上), 特任准教授 (20635370)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 多重ゼータ値 / 多重ゼータ関数 / 川島関数 |
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| 研究実績の概要 |
川島関数とは，等号付き多重調和数（＝等号付き多重ゼータ値を打ち切った有限和）を補間するニュートン級数として定義された関数であり，多重調和数のみならず多重ゼータ値とも強い関係を持つ．本研究では川島関数と多重ゼータ関数との関係をより深く追求し，多重ゼータ値のみならず非正整数での多重ゼータ関数の値にも応用の道を見出そうとしている．基本的な着想は，川島関数の原型であるダイガンマ関数について，無限大における漸近展開の係数がリーマンゼータ関数の非正整数における値で表されるという，古典的によく知られた事実に基づき，川島関数の漸近展開公式から多重ゼータ関数の値についての情報を読み取ろうということである．
本年度は以下の三つの研究を進めた．
(1) 井原健太郎氏・中村弥生氏との共同研究：等号の付かない多重調和数の補間関数（等号なしの川島関数というべきもの）について，ある種の積分表示を考察するにあたり，その積分の収束を示すために被積分関数の評価が必要になり，これを複素解析的な手法で解決した．これらの成果については研究集会等で報告しているが，論文作成は進行中である．
(2) 金子昌信氏・徐策氏との共同研究：多重ゼータ値のフルヴィッツ型の拡張に関して級数式，積分式の正規化を導入し，正規化基本定理を証明した．また正規化フルヴィッツ多重ゼータ値と川島関数との相互関係を示し，川島関係式の新証明を得た．この研究成果は論文にまとめ，投稿した．
(3) 小野雅隆氏・関真一朗氏との共同研究：t進対称多重ゼータ値を打ち切った有限和に関して，2色根付き木という組合せ的構造による記述を与え，複シャッフル関係式を証明した．この成果は Research in Number Theory 誌に掲載された．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題の中心である川島関数に直接関係する研究は，概要欄(1), (2)の二つの研究を軸に進んだ．(1)については，論文完成には至らなかったものの，以前から共同研究者の間で課題として共有されていた被積分関数の評価の問題を解決でき，研究の手ごたえを感じるものであった．(2)においては，当初は予想していなかった形で川島関数と正規化フルヴィッツ多重ゼータ値の間の関係を得ることができた．このことから，本研究課題において従来目標としていた「川島関数の漸近展開」に対して，新たに「正規化フルヴィッツ多重ゼータ値の漸近展開」を考えるべきである，という指針が得られた．
本研究課題は本年度を最終年度とする予定であったが，研究期間を延長することとした理由は，コロナ禍の中で完遂に至らなかった研究計画がある一方，計画遂行の過程において予期せぬ研究成果と新たな指針を得ることができ，それらの観点から更に研究を発展させることが必要だと考えたからである．
以上のことを総合的に勘案して，研究はおおむね順調に進展していると判断した．
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| 今後の研究の推進方策 |
まず，進行中の共同研究(1)を完成させる．本質的な困難は解決していると思われるので，今後は共同研究者との議論・打ち合わせの機会を確保し，論文作成を進める．
また，前年度に検討を開始した複素指数の川島関数に関して，あらためて考察を進める．そのためにまず，本年度の研究で得られた正規化フルヴィッツ多重ゼータ値との関係を，複素指数に拡張することを目指す．特に，複素指数のフルヴィッツ多重ゼータ値が級数シャッフル関係式を満たすことから，級数型の正規化とは整合性がとれるものと期待される．その後，指数に対して複素解析的な手法を適用し，川島関数の変数（＝フルヴィッツ型のパラメータ）に関するテイラー展開や漸近展開の計算への応用を試みる．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本来，研究費の大部分を出張旅費として使用する予定であったが，本年度のほぼ全体にわたり，新型コロナウイルス感染症の影響により，国内外を問わずほとんどの出張を自粛せざるを得ない状況となったため，次年度への計画延長を余儀なくされた．次年度に出張が可能な機会があれば旅費として使用するが，それが困難な状況が続く場合には書籍購入や，遠隔での共同研究を想定したオンライン研究環境の整備のための使用を検討する．
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